【随机过程的定义】

随机过程是概率论的继续与发展，其研究对象是随时间演变的随机现象

从数学的角度来说，就是事物的变化过程无法用一个或几个由时间 t 来确定的函数进行描绘，也就是说，对事物变化的过程进行一次观察，得到的结果是一个关于时间 t 的函数，但对同一事物的变化过程独立地进行多次观察，得到的结果是不同的

随机过程被定义为一族二元函数，设 (Ω,F,P) 是一概率空间，T 是一个实参数集，对于定义在 Ω 与 T 上的二元函数 X(ω,t)，若对任意固定的 t∈T，X(ω,t) 是 (Ω,F,P) 上的随机变量，则称

{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}

为概率空间 (Ω,F,P) 上的随机过程，记为 {X(t),t∈T}

固定 ω=ω0∈Ω，此时，X(t) 是定义在 T 上的一个不再具有随机性的普通函数，记为 x(t)，称为随机过程的一个样本函数，其图像是随机过程的一条样本曲线

固定 t=t0∈T，此时 X(t) 在 t0 的数值为 X(t0)，第一次试验值为 x1(t0)，第二次试验值为 x2(t0)，以此类推，显然 X(t) 是一个随机变量，由此，存在如下定义：

设 X(t),t∈T 是随机过程，则当 t 固定时，X(t) 是一个随机变量，其是随机过程 X(t),t∈T 在 t 时刻的状态

随机变量 X(t)（t 固定且 t∈T）所有可能的取值构成的集合被称为随机过程的状态空间，记为 S

【随机过程的类型】

根据参数集 T 和状态空间 S 是离散集还是连续集，可分为以下四类

1）离散参数、离散状态

参数集 T 是离散的，对于固定的 t∈T，X(t) 是离散型随机变量

考虑投掷一颗骰子的试验，设 Xn 是第 n 次投掷的点数，对于 n=1,2,⋯ 的不同值，Xn 是不同的随机变量

因而 {Xn,n≥1} 构成一随机过程，称为伯努利过程，其参数集为 T={1,2,⋯}，状态空间为 S={1,2,⋯,6}

2）离散参数、连续状态

参数集 T 是离散的，对于固定的 t∈T，X(t) 是连续型随机变量

设 Xn,n=⋯,−2,−1,0,1,2,⋯ 是相互独立且同分布服从标准正态分布的随机变量，则 {Xn,n=⋯,−2,−1,0,1,2,⋯} 为一随机过程，其参数集为 T={⋯,−2,−1,0,1,2,⋯}，状态空间为 S=(−∞,+∞)

3）连续参数、离散状态

参数集 T 是连续的，对于固定的 t∈T，X(t) 是离散型随机变量

设 X(t) 为在 [0,t] 期间内到达服务点的顾客数，对于 t∈[0,+∞) 的不同值，X(t) 是不同的随机变量，则 {X(t),t≥0} 构成一随机过程，其参数集为 T=[0,+∞)，状态空间为 S={0,1,2,⋯}

4）连续参数、连续状态

参数集 T 是连续的，同时对于固定的 t∈T，X(t) 是连续型随机变量

设 X(t)=Acos⁡(ωt+φ),−∞<t<+∞，其中 A>0，ω 是实常数，φ 服从区间 [−π,π] 上的均匀分布，则 {X(t),−∞<t<+∞} 为一随机过程，其参数集为 T=(−∞,+∞)，状态空间为 S=[−A,A]