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矩阵的奇异值分解
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矩阵的奇异值分解
【奇异值】
设 A∈Cm×n，记非负定 Hermite 阵 AHA 的 n 个特征值为
λ1,λ2,⋯,λnσ1=λ1,σ2=λ2,⋯,σn=λn为 A 的奇异值
若 rank A=r，则 AHA 具有 r 个正的特征值，通常设
σ1≥σ2≥⋯≥σr>σr+1=σr+1=⋯=σn=0称 σ1,σ2,⋯,σr 为 A 的正奇异值
【奇异值分解】
设 A∈Cm×n,rank A=r>0，则有奇异值分解：
UHAV=[ΣOOO]其中，U 为 m 阶酉矩阵，V 为 n 阶酉矩阵，Σ=diag (σ1,σ2,⋯,σr)，σ1≥σ2≥⋯≥σr>0 为 A 的 r 个正奇异值
【奇异值分解方法】
根据奇异值分解的定义可推得：
AAHU=UUHAVVHAHU=U(UHAV)(UHAV)H=U[Σ2OOO]∈Cm×mAAHV=VVHAUUHAHV=V(UHAV)H(UHAV)=V[Σ2OOO]∈Cn×n这说明酉矩阵 U 的各列是 AAH 的标准正交特征向量，称为 A 的左奇异向量，酉矩阵 V 的各列是 AHA 的标准正交特征向量，称为 A 的右奇异值向量
由此，可得求矩阵的奇异值分解的一种方法，即分别求出 AAH 和 AHA 的标准正交特征向量，然后构造酉矩阵 U 和酉矩阵 V
需要注意的是，此时需要验证
UHAV=[ΣOOO]是否成立，若成立，则得到 A 的奇异值分解
A=[100−101010000]AHA=[100−101010000−1102]
的四个特征值分别为 λ1=1,λ2=3,λ3=λ4=0，对应的特征向量分别为
[1100],[−1102],[0010],[1−101],由于这些特征向量均已正交，无需再进行 Schmidt 正交化，将它们单位化后即可得正交阵
V=[12−1601312160−130010026013]AAH=[2−10−120000]的三个特征值为 μ1=1,μ2=3,μ3=0，对应的特征向量分别为
[110],[−110],[001]由于这些特征向量均已正交，无需再进行 Schmidt 正交化，将它们单位化后即可得正交阵
U=[12−12012120001]经验证，可得 A 的奇异值分解为
A=U[100003000000]VT感谢您对我的支持，让我继续努力分享有用的技术与知识点！
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