【联合分布函数】

在实际应用中，有时需要同时考虑两个或两个以上随机过程的统计特征

例如，某个线性系统的输入是一个随机过程 {X(t),t∈T}，其输出也是一个随机过程 {Y(t),t∈T}，那么，此时就要考虑这两个随机过程的联合统计特性

此外，与概率论中的复随机变量类似，随机过程中也有复随机过程，其是由二维随机过程给出的

【二维随机过程】

联合分布函数

设 {X(t),t∈T} 和 {Y(t),t∈T} 是定义在同一概率空间上的两个随机过程，则称

{(X(t),Y(t)),t∈T}

为二维随机过程

那么，对任意的 m≥1,n≥1，t1,⋯,tm∈T，t1′,⋯,tn′∈T，有

(X1(t),⋯,Xm(t),Y1(t1′),⋯,Y(tn′))

是 m+n 维随机变量，称

F(t1,⋯,tm;x1,⋯,xm;t1′,⋯,tn′;y1,⋯,yn)=P(X(t1)≤x1,⋯,X(tm)≤xm,Y(t1′)≤y1,⋯,Y(tn′)≤yn)

为二维随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T} 的 m+n 维联合分布函数

边缘分布函数

二维随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T} 作为一个整体，具有 m+n 维分布函数，而随机过程 {X(t),t∈T} 具有 m 维分布函数，随机过程 {Y(t),t∈T} 具有 n 维分布函数，将他们分别记为

FX(t1,t2,⋯,tm;x1,x2,⋯,xm)FY(t1′,t2′,⋯,tn′;y1,y2,⋯,yn)

那么，对于二维随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T}，分别称两者为 {(X(t),Y(t)),t∈T} 关于 {X(t),t∈T} 和关于 {Y(t),t∈T} 的 m 维边缘分布函数和 n 维边缘分布函数

此外，若有

F(t1,⋯,tm;x1,⋯,xm;t1′,⋯,tn′;y1,⋯,yn)=FX(t1,⋯,tm;x1,⋯,xm)FY(t1,⋯,tn′;y1,⋯,yn)

则称 {X(t),t∈T} 和 {Y(t),t∈T} 相互独立

设 {(X(t),Y(t)),t∈T} 是二维随机过程，∀s,t∈T，X(s),Y(t) 是两个随机变量

若 E[X(s)Y(t)] 存在，记为 RXY(s,t)，称其为随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T} 的互相关函数

若 Cov(X(s),Y(t)) 存在，记为 CXY(s,t)，称其为随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T} 的互协方差函数

CXY(s,t)=RXY(s,t)−μX(s)μY(t)

此外，若 CXY(s,t)=0 或 RXY(s,t)=μX(s)μY(t)，则称 {X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T} 不相关

进一步，可知，若 {X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T} 相互独立，则 {X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T} 不相关

【复随机过程】

设 {X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T} 是定义在同一概率空间上的两个实随机过程，令

Z(t)=X(t)+jY(t),t∈T,j=−1

则称 {Z(t),t∈T} 是复随机过程

复随机过程的任意有限维可由二维随机过程 {(X(t),Y(t)),t∈T} 的所有 n+m 维联合分布函数给出

其数字特征的定义如下：

• 均值函数：μZ(t)=E[Z(t)]
• 方差函数：σZ(t)=D[Z(t)]=E|Z(t)−μZ(t)|2
• 协方差函数：CZ(s,t)=Cov(Z(s),Z(t))=E[(Z(s)−μZ(s))―(Z(t)−μZ(t))]
• 相关函数：RZ(s,t)=E[Z(s)―Z(t)])
• 均方值函数：ΦZ(t)=E|Z(t)|2

易知，复随机过程的数字特征间有如下关系：

μZ(t)=μX(t)+jμY(t)σZ(t)=σX(t)+σY(t)σZ(t)=CZ(t,t)CZ(s,t)=RZ(s,t)−μZ(s)―μZ(t)ΦZ(t)=RZ(t,t)