【分布函数】

无论随机过程属于哪一类，均需要找出它的统计特性，才能讨论它的性质，研究统计特性的一种方法，就是求该随机过程的有限维分布函数族，在引入有限维分布函数族前，首先给出随机分布随机函数的定义

设 {X(t),t∈T} 是随机过程，对于任意固定的 t∈T，X(t) 是一随机变量，称

F(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R,t∈T

为随机过程 {X(t),t∈T} 的一维分布函数

对于任意固定的 t1,t2∈T，X(t1),X(t2) 是两个随机变量，称

F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2),x1,x2∈R,t1,t2∈T

为随机过程 {X(t),t∈T} 的二维分布函数

推广到 n 维，对于任意固定的 t1,⋯,tn∈T，X(t1),⋯,X(tn) 是 n 个随机变量，称

F(t1,⋯,tn;x1,⋯,xn)=P(X(t1)≤x1,⋯,X(tn)≤xn),xi∈R,ti∈T

为随机过程 {X(t),t∈T} 的 n 维分布函数

【有限维分布函数族】

在有了随机过程分布函数的概念后，即可给出随机过程有限维分布函数族的概念

设 {X(t),t∈T} 为一随机过程，其是一维分布函数、二维分布函数、⋯、n 维分布函数的全体，即

F={F(t1,⋯,tn;x1,⋯,xn),xi∈R,ti∈T,i=1,2,⋯,n}

称为随机过程 {X(t),t∈T} 的有限维分布函数族

那么，如果知道了随机过程 {X(t),t∈T} 的 n 维分布函数全体，即可知道随机过程 {X(t),t∈T} 中任意 n 个随机变量的联合分布

进一步，如果知道了随机过程 {X(t),t∈T} 的有限维分布函数族，即可知道随机过程 {X(t),t∈T} 中任意有限个随机变量的联合分布，从而确定它们间的相互关系

随机过程的有限维分布函数族具有以下两性质

1）对称性：设 i1i2⋯in 是 1,2,⋯,n 的任一排列，则

F(ti1,ti2,⋯,tin;xi1,xi2,⋯,xin)=F(t1,t2,⋯,tn;x1,x2,⋯,xn)

2）相容性：设 m<n，则

F(t1,⋯,tm;x1,⋯,xm)=F(t1,⋯,tm,tm+1,⋯,tn;x1,⋯,xm,+∞,⋯,+∞)

【特征函数】

在概率论中，研究随机变量的统计特性除使用分布函数外，另一重要的方法就是通过特征函数，且随机变量的分布函数与特征函数有意义对应的关系

那么，在随机过程中，也可通过随机过程的有限维特征函数来研究随机过程的统计特性

设 {X(t),t∈T} 是一随机过程，对任意固定的 t1,⋯,tn∈T，X(t1),⋯,X(tn) 是 n 个随机变量，称

φ(t1,⋯,tn;u1,⋯,un)=E{exp⁡[j(u1X(t1)+⋯+unX(tn))]}=∫−∞+∞⋯∫−∞+∞exp⁡[j(u1X(t1)+⋯+unX(tn))dF(t1,⋯,tn;x1,⋯,xn)ui∈R,ti∈T,i=1,2,⋯,n,j=−1

为随机过程 {X(t),t∈T} 的 n 维特征函数，称

Φ={φ(t1,⋯,tn;u1,⋯,un),ui∈R,ti∈T,i=1,2,⋯,n,n∈N}

为随机过程 {X(t),t∈T} 的 有限维特征函数族