抽象代数习题(8) -- 有限集的置换

抽象代数习题(8) – 有限集的置换

Sun Jan 9, 2022

《抽象代数》第八章讲了有限集合上的置换、轮换、对换的表示法，置换到轮换的分解，置换的奇偶性。

---

B.1 为下列情况计算 α⁻¹, α², α³, α⁴, α⁵：

1. α = (123)
2. α = (1234)
3. α = (123456)

解

1. α⁻¹=(132), α²=(132), α³=ε, α⁴=(123), α⁵=(132)
2. α⁻¹=(1432), α²=(13)(24), α³=(1432), α⁴=ε, α⁵=(1234)
3. α⁻¹=(165432), α²=(135)(246), α³=(14)(25)(36), α⁴=(153)(264), α⁵=(165432)

---

B.2 描述轮换 α=(a1a2⋯as) 的所有不同的幂。共有几个？密切注意它和整数模 s 的加法群的关系。

答

αk=(a1a2⋯as−kas−k+1⋯asak+1ak+2⋯asa1⋯ak)

可见共有 s 个不同的幂： α0,α1,…,αs−1。

---

B.3 找出 α 的逆并证明 α−1=αs−1。

证明

而根据前一问的结论可知

α−1=(a1a2⋯asasa1⋯as−1)=αs−1

证明完毕。

---

B.4 求证： α2 是轮换，当且仅当 s 是奇数。

证明

首先证明 s 是奇数 ⟹ α2 是轮换。 假定 s 是奇数, 则 α2=(a1a3⋯asa2a4⋯as−1) 是轮换。

其次证明 s 不是奇数 ⟹ α2 不是轮换。 s 不是奇数即是偶数，而 α2=(a1a3⋯as−1)(a2a4⋯as) 不是轮换（因为置换分解为轮换是唯一的）。

综上所述， α2 是轮换当且仅当 s 是奇数。

---

B.5 如果 s 是奇数，证明 α 是某个长度为 s 的轮换的平方。

证明 因为 αs=ϵ，所以 α=αs+1=(αr)2，这里 r=s+12 是整数。

αr=(a1a2⋯asarar+1⋯ar−1)

下面证明这是一个轮换。因为 αr(ai)=ai+r−1，所以从 a1 开始可以得到一个轮换 β=(a1ar⋯a[(k−1)(r−1)mods]+1⋯) 其中 1≤k≤s。 下面考虑这个轮换的长度。令第 k 项等于第 1 项，得同余方程 (k−1)(r−1)≡0(mods)

根据初等数论知识，gcd(r−1,s)=gcd(r−1,2r−1)=1，故可约去 (r−1)。解得 k≡1(mods)。 所以，唯一满足要求的值为 k=1。由此可知， β 能够遍历全部 s 个元素。这意味着 αr 是轮换。

综上所述，α 是轮换 as+12 的平方。

---

B.7 如果 s=kt 是 k 的倍数，证明 αk 是 k 个长度为 t 的轮换的复合。

证明 把 a1 到 as 排在 t×k 矩阵中：

a1a2⋯akak+1ak+2⋯a2k⋮⋮⋱⋮a(t−1)k+1a(t−1)k+2⋯akt

选择任意一列，αk 会轮换这一列的所有元素。由矩阵大小可知 αk 是 k 个长度为 t 的复合。

---

C.2 求证：

1. 两个偶置换的复合是偶置换；
2. 两个奇置换的复合是偶置换；
3. 一个偶置换和一个奇置换的复合是奇置换。

证明

考虑置换中对换的个数。两个置换复合，对换个数相加。 根据奇偶数的运算性质：

1. 两个偶数的和是偶数；
2. 两个奇数的和是偶数；
3. 一个偶数和一个奇数的和是奇数。

即可得证。

---

C.3 求证：

1. 奇数长度的轮换是偶置换；
2. 偶数长度的轮换是奇置换。

证明

根据等式 (a1a2⋯al)=(alal−1)(alal−2)⋯(ala1) 可知，长度为 l 的轮换可以分解为 (l−1) 个对换。根据奇偶置换的定义即可得证。

---