抽象代数习题(16) -- 同态基本定理

抽象代数习题(16) – 同态基本定理

Mon Jan 17, 2022

《抽象代数》第十六章是群论部分的最后一章。这一章讲了同态基本定理 (fundamental homomorphism theorem, FHT)。它把商群和同态两个概念联系起来：由任意正规子群 H 可以构造商群 G/H，从而构造从 G 到 G/H、以 H 为核的同态；反之亦然。

本章习题部分放进了许多补充内容，包括群论中的一些著名定理，如 Cauchy 定理、Sylow 定理等。这部分内容我没有看完，所以先只选做其中较简单的一部分习题。

2022-03-12：补充了 Cauchy 定理和 Sylow 定理的证明。

B. FHT 应用于 F(R) 的例子

设 α:F(R)→R 定义为 α(f)=f(1)，β:F(R)→R 定义为 β(f)=f(2)。

B.1 证明 α 和 β 是 F(R) 到 R 的满同态。

说明 F(R) 是所有 R→R 函数的集合。群运算为函数加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)。

证明只证明 α 是满同态，β 的情况类似。

设 f,g∈F(R)，则 α(f+g)=(f+g)(1)=f(1)+g(1)=α(f)+α(g) 这说明 α 是同态。

对任意 c∈R，存在常数函数 f(x)=c 使得 α(f)=c。因此 α 是到 R 的满射。

B.2 设 J 是所有 R→R 的图象通过点 (1,0) 的所有函数的集合；设 K 是所有 R→R 的图象通过点 (2,0) 的所有函数的集合。使用 FHT 证明 R≅F(R)/J 以及 R≅F(R)/K。

证明只证明关于 J 的命题；关于 K 的命题同理。

依题意 J={f∈F(R):f(1)=0}。这表明 J 是 α 的核。又因为 α 是 F(R)→R 的满同态，根据 FHT 可知 R≅F(R)/J。

注由此可知 F(R)/J≅F(R)/K （下一问的回答）。

C. FHT 应用于 Abel 群的例子

设 G 为 Abel 群。设 H={x2:x∈G}, K={x∈G:x2=e}。

C.1 证明 f(x)=x2 是 G 到 H 的满同态。

证明显然 f 是 G→H 的映射。

设 x,y∈G 则 f(xy)=(xy)2=(x2)(y2)=f(x)f(y)。这表明 f 是同态。

对任意 h∈H，由定义可知存在 x∈G 使得 h=x2，于是 f(x)=h。这表明 f 是满射。

C.2 求 f 的核。

解列方程 f(x)=e，即 x2=e。可知方程的解集为 K。所以 K 是 f 的核。

C.3 根据 FHT 说明 H≅G/K。

答根据前两问的结论和 FHT 直接得出结论。

D. 群 G 的内自同构群

设 G 是群。G 的 自同构 (automorphism) 指的是同构 f:G→G。

D.1 符号 Aut⁡(G) 表示 G 的所有自同构的集合。通过证明 Aut⁡(G) 是 SG 的子群来证明集合 Aut⁡(G) 与复合运算 ∘ 构成一个群。

证明见第九章习题I.4。

D.2 G 的内自同构 (inner automorphism) 指的是任意如下形式的函数 ϕa(x)： ∀x∈Gϕa(x)=axa−1 证明 G 的每个内自同构都是 G 的自同构。

证明显然 ϕa 是 G→G 的映射，并且由于存在反函数 ϕa−1(x)=a−1xa，因此是双射。

设 x,y∈G，则 ϕa(xy)=a(xy)a−1=(axa−1)(aya−1)=ϕa(x)ϕa(y) 因此 ϕa 保持群结构，所以是同构。

ϕa 是 G→G 的同构，根据定义它是 G 的自同构。

D.3 证明：对任意 a,b∈G，有以及ϕa∘ϕb=ϕab以及(ϕa)−1=ϕa−1

证明考虑任意 x∈G， (ϕa∘ϕb)(x)=ϕa(ϕb(x))=a(bxb−1)a−1=abx(ab)−1=ϕab(x) 这说明 ϕa∘ϕb=ϕab。 (ϕa)−1(x)=a−1xa=ϕa−1(x) 这说明 (ϕa)−1=ϕa−1。

D.4 设 I(G) 是 G 的所有内自同构的集合。也就是说，G={ϕa:a∈G}。利用 D.3 的结论证明 I(G) 是 Aut⁡(G) 的子群。

证明由 D.2 知 I(G)⊆Aut⁡(G)。由 D.3 知 I(G) 中的元素对复合运算和取逆运算均封闭。所以 I(G)≤Aut⁡(G)。

D.5 G 的中心 (center) 指的是 G 中和所有元素都满足交换律的元素的集合，即 C={a∈G:ax=xa∀x∈G} 证明 a∈C 当且仅当 axa−1=x 对任意 x∈G 都成立。

证明 a∈C⟺∀x∈G(ax=xa)⟺∀x∈G(axa−1=x)。

D.6 设 h:G→I(G) 定义为 h(a)=ϕa。证明 h 是从 G 到 I(G) 的满同态并且其核为 C。

证明设 a,b∈G，则 h(ab)=ϕab=ϕa∘ϕb=h(a)∘h(b)。这说明 h 是同态。

对于任意 I(G) 的元素 ϕa，显然 h(a)=ϕa。这表明 h 是满射。

设 a∈G 并令 h(a)=ϕe。得 ϕa=ϕe，即 axa−1=x∀x∈G 由 D.5 可知上述关于 a 的方程的解集是 C。所以 ker⁡h=C。

D.7 根据 FHT 说明 I(G) 与 G/C 同构。

答根据前一问的结论和 FHT 直接得到结论。

E. FHT 应用于群的直积

设 G 和 H 是群。设 J◃G, K◃H。

E.1 证明函数 f(x,y)=(Jx,Ky) 是 G×H→(G/J)×(H/K) 的同态。

证明首先明确 G/J 中的运算为陪集的乘法：Jx⋅Jy=J(xy)；H/K 中同理。根据商群的定义可知 Jx∈(G/J), Ky∈(H/K) 因此 f 是 G×H→(G/J)×(H/K) 的映射。

设 (x1,y1),(x2,y2)∈G×H，则 f((x1,y1)(x2,y2))=f(x1x2,y1y2)=(J(x1x2),K(y1y2))=((Jx1⋅Jx2),(Ky1⋅Ky2))=(Jx1,Ky1)⋅(Jx2,Ky2)=f(x1,y1)⋅f(x2,y2) 这说明 f 是同态。

E.2 求 f 的核。

解值域中的单位元为 (J,K)。列方程 f(x,y)=(J,K) 得方程组 Jx=JKy=K 由此可知解集为 {(x,y):x∈J,y∈K}，即 J×K。这就是 f 的核。

E.3 根据 FHT 说明 (G×H)/(J×K)≅(G/J)×(H/K)。

答由前两问的结论和 FHT 直接得到结论。

F. 第一同构定理

设 G 是群，H◃G, K≤G。证明下列命题：

F.1 (H∩K)◃K

证明不难证明 H∩K 是 K 的子群。下面证明 H∩K 是正规子群。

设 a∈(H∩K)，则 a∈H 且 a∈K。对任意 x∈K≤G，根据群的封闭性知 xax−1∈K。又因为 H◃G，所以 xax−1∈H。因此 (H∩K)◃K。

F.2 如果 HK={xy:x∈H∧y∈K}，那么 HK≤G。

证明显然 e∈HK。

设 a,b∈HK，那么存在 x1,x2∈H 和 y1y2∈K 使得 a=x1y1, b=x2y2。那么 ab=x1y1x2y2。因为 H 是正规子群，有 x2′=y1x2y1−1∈H。于是 ab=x1x2′y1y2。而 x1x2′∈H, y1y2∈K，所以 ab∈HK。

设 a∈HK，那么存在 x∈H, y∈K 使得 a=xy。那么 a−1=(xy)−1=y−1x−1。因为 H 是正规子群，有 x′=y−1x−1(y−1)−1∈H。于是 a−1=x′y−1。而 x′∈H, y−1∈K，所以 a−1∈HK。

综上所述，HK≤G。

F.3 H◃HK

证明显然 H⊆HK，又已知 H 是群，所以 H≤HK。另一方面，对于任意 a∈H 和 x∈HK⊆G，都有 xax−1∈H。这表明 H 是正规子群。

F.4 商群 HK/H 中的每个元素都可以写成 Hk 的形式，其中 k∈K。

证明考虑 HK/H 中的元素 Ha，其中 a=hk, h∈H, k∈K。因为 ak−1=h∈H，根据第十五章定理 5，有 Ha=Hk。

F.5 函数 f(k)=Hk 是从 K 到 HK/H 的满同态，并且它的核为 H∩K。

证明显然 K⊆HK。设 x∈K⊆HK，则 Hk∈(HK/H)。所以 f 是 K→(HK/H) 的映射。

考虑任意 Ha∈(HK/H)，由前一问结论知存在 k∈K 使得 Ha=Hk，于是 f(k)=Ha。这表明 f 是满射。

设 x,y∈K，则 f(xy)=H(xy)=Hx⋅Hy=f(x)⋅f(y)。这表明 f 是同态。

为了求 f 的核，设 k∈K 并令 f(k)=H，即 Hk=H。根据第十五章定理 5，当且仅当 k∈H 时该等式成立。又 k∈K，所以解集是 H∩K。

综上所述，f 是 K→(HK/H) 的满同态，且核为 H∩K。

F.6 根据 FHT 说明 K/(H∩K)≅HK/H。（这被称作第一同构定理。）

答根据前一问结论和 FHT 直接得出结论。

G. 更强的 Cayley 定理

设 H 是 G 的子群。设 X 表示 G 中所有 H 的左陪集。对于任意 a∈G，定义 ρa:X→X 为：ρa(xH)=(ax)H

G.1 证明每个 ρa 是 X 的一个置换。

引理 aH=bH⟺a−1b∈H

类似于第十五章定理 5，只不过这里是左陪集，逆元的位置也不一样。证明略。

证明只须证明 ρa 是双射即可。

（单射）设 x,y∈G 且 (ax)H=(ay)H。根据引理得 (ax)−1(ay)∈H，即 x−1y∈H。于是根据引理得 xH=yH。这说明 (ax)H=(ay)H⇒xH=yH。因此 ρa 是单射。

（满射）考虑 X 中任意元素 xH，其中 x∈G。令 y=a−1x∈G，则 f(yH)=(ay)H=xH。因此 ρa 是满射。

G.2 证明 h:G→SX 定义为 h(a)=ρa 是同态。

证明考虑 X 中的任意元素 xH，其中 x∈G。则 (ρa∘ρb)(xH)=ρa(ρb(xH))=(a(bx))H=((ab)x)H=ρab(xH) 恒成立。所以 ρa∘ρb=ρab。

这意味着 h(ab)=h(a)h(b)，因此 h 是同态。

G.3 证明集合 {a∈H:xax−1∈H∀x∈G} （即 H 中所有共轭都在 H 内的元素构成的集合），是 h 的核。

证明值域中的单位元是恒等变换 ϵ=ρe，其中 e 是 G 的单位元。设 a∈G，令 h(a)=ϵ，得方程 ρa=ρe。该方程成立的条件是 (ax)H=xH 对所有 x∈G 成立。

根据 G.1 的引理可知等式成立的充分必要条件是 (ax)−1x=x−1ax∈H。因此解集是 {a∈H:xax−1∈H∀x∈G}，这也就是 h 的核。

G.4 证明如果 H 不包含 G 的除 {e} 外的正规子群，则 G 和 SX 的某个子群同构。

证明前一问证明了 ker⁡h={a∈H:xax−1∈H∀x∈G} 注意到核总是正规子群，所以如果 H 不包含任何除 {e} 外的任何正规子群，则只能是 ker⁡h={e}。

根据 FHT，有 G/{e}≅ran⁡h⊆SX。

另一方面，G/{e}={{x}:x∈G} 显然和 G 同构：x↔{x}。

综上所述，G 同构于 SX 的某个子集。

H. 同构于圆群的商群

H.1 对任意 x∈R，约定 cis⁡x=cos⁡x+isin⁡x。证明 cis⁡(x+y)=(cis⁡x)(cis⁡y)。

证明使用欧拉公式或者使用复数的运算法则结合三角恒等式（略）。

H.2 设 T 表示集合 {cis⁡x:x∈R}（即所有位于单位元上的复数）和复数乘法构成的群。证明 T 是群。（称为圆群）。

证明

单位元是 cis⁡0=1。
cis⁡x 的逆元是 cis⁡(−x)。
结合律：(cis⁡xcis⁡y)cis⁡z=cis⁡(x+y)cis⁡z=cis⁡(x+y+z)=cis⁡xcis⁡(y+z)=cis⁡x(cis⁡ycis⁡z)

H.3 证明 f(x)=cis⁡x 是 R→T 的满同态。

证明显然 f 是 R→T 的满射。

设 x,y∈R，则由 H.1 知 cis⁡(x+y)=(cis⁡x)(cis⁡y)。所以 f 是满同态。

H.4 证明 ker⁡f={2nπ:n∈Z}=⟨2π⟩。

证明设 x∈R，令 f(x)=1 得 cos⁡x+isin⁡x=1+0i 根据复数相等的规则，方程等价于方程组 cos⁡x=1sin⁡x=0 根据三角函数知识，可知解集为 {2nπ:n∈Z}，这也就是 f 的核。

H.5 根据 FHT 说明 T≅R/⟨2π⟩。

答根据 H.3、H.4 的结论和 FHT 立即得到结论。

H.6 证明 f(x)=cis⁡2πx 是 R→T 的满同态，且核为 Z。

证明参考 H.3、H.4 证明。

H.7 说明 T≅R/Z。

答根据 H.6 和 FHT 立即得到结论。

I. 第二同构定理

设 H 和 K 是群 G 的正规子群，并且 H⊆K。定义 ϕ:G/H→G/K 为 ϕ(Ha)=Ka。

证明 1–4。

I.1 ϕ 是良定义的函数。[即如果 Ha=Hb，则 ϕ(Ha)=ϕ(Hb)。]

证明设 Ha=Hb，则 ab−1∈H⊆K。于是 Ka=Kb 即 ϕ(Ha)=ϕ(Hb)。

I.2 ϕ 是同态。

证明考虑 G/H 中的任意元素 Hx,Hy，其中 x,y∈G。 ϕ(Hx⋅Hy)=ϕ(H(xy))=K(xy)=Kx⋅Ky=ϕ(x)⋅ϕ(y) 所以 ϕ 是同态。

I.3 ϕ 是满射。

证明考虑 G/K 中的任意元素 Ka，其中 a∈G。因为有 Ha∈G/H 且 ϕ(Ha)=Ka，所以 ϕ 是满射。

I.4 ker⁡ϕ=K/H

证明值域中的单位元是 K。设 Hx∈G/H，其中 x∈G，列方程 ϕ(Hx)=K，即 Kx=K。等式成立的充要条件是 x∈K，所以方程（关于未知数 Hx）的解集是 {Hx:x∈K}，这也就是 ϕ 的核。另一方面，根据商群的定义有 K/H={Hx:x∈K}。所以 ker⁡ϕ=K/H。

I.5 （使用 FHT）说明 (G/H)/(K/H)≅G/K。

答根据 I.2–I.4 和 FHT 立即得到结论。

J. 对应定理 (Correspondence Theorem)

设 f 为 G 到 H 上的满同态，且核为 K： f:G→K→H 如果 S 是 H 的子群，设 S∗={x∈G:f(x)∈S}。求证：

J.1 S∗ 是 G 的子群。

证明显然 e∈S∗⊆G。

设 x,y∈S∗，则有 f(x),f(y)∈S。因为 f 是同态而且 S 是群，所以 f(xy)=f(x)f(y)∈S。于是 xy∈S∗。

设 x∈S∗。则 f(x−1)=[f(x)]−1∈S，所以 x−1∈S∗。

综上所述， S∗ 是 G 的非空子集，且对乘法和逆元均封闭，所以是 G 的子群。

J.2 K⊆S∗

证明 x∈K⟹f(x)=e∈S⟹x∈S∗

J.3 设 g 是 f 把定义域限定在 S∗ 上的函数，则 g 是 S∗ 到 S 的满同态，并且 K=ker⁡g。

证明根据定义易知 g 是满射。根据 f 的同态性质可知 g 是同态。

设 x∈S∗，列方程 g(x)=e。注意到 f(x)=e 的解集为 K，又由前一问知 K⊆S∗，所以 ker⁡g=K。

J.4 S≅S∗/K。

证明根据 J.3 的结论和 FHT 立即得到。

K. Cauchy 定理

如果 G 是群，p 是 |G| 的质因子，可以证明 G 至少有一个 p 阶元素。对于 Abel 群的情况，证明已由第十五章习题 H.4 给出。因此，这里假定 G 不是 Abel 群。证明采用数学归纳法；设 |G|=k，并假定结论对任意阶小于 k 的群都成立。设 C 为 G 的中心，Ca 为 a∈G 的中心化子，并且 k=|C|+∑i∈I|Si| 为 G 的类方程（参见第十五章习题 G.2）。

K.1 证明：如果 p 是 |Ca| 的因子，其中 a∉C，那么就证完了。（解释原因。）

说明证明的思路在于找到 G 的一个子群，其阶也是 p 的倍数。如果这个子群是 Abel 群，那么根据第十五章习题 H 可知其中存在阶为 p 的元素；否则，就可以再次寻找更小的子群。但这个过程不可能无限地重复下去，最小的情况就是阶恰好等于 p。这时群中的非单位元的阶就是 p。在这一小问中，Ca 就是要找的子群。

证明首先，Ca⊊G。这是因为如果取等号，说明 a 和所有元素交换，和 a∉C 矛盾。于是 |Ca|<|G|=k。这一小问的前提条件是 p∣|Ca|，因此根据归纳假设可知 Ca 中存在阶等于 p 的元素。

K.2 证明：对于任意 a∉C，如果 p∤|Ca|，那么 p∣(G:Ca)。

证明因为 p∣|G|=(G:Ca)|Ca| 当 p∤|Ca| 时，根据欧几里得引理可知 p∣(G:Ca)。

K.3 从类方程中解出 |C|，并说明为什么 p∣|C|。现在证完了。（解释原因。）

证明这里只讨论 K.1 不成立的情况，即对任意 a∉C 都有 p∤|Ca|。这时，C 就是要找的子群，理由如下：

对于任意共轭类 Si，它的大小都等于某个元素的中心化子 Cxi 的大小（第十三章习题 I.6）。根据 K.2 得 p∣(G:Cxi)。这意味着所有 a∉C 的共轭类 Si 的大小都是 p 的倍数。

由类方程解得 |C|=k−∑i∈I|Si| 可见，右边每一项都是 p 的倍数，因此 |C| 是 p 的倍数。

因为 C⊊G（如果取等号，则 G 中所有元素都可交换，和 G 不是 Abel 群矛盾），所以 |C|<|G|=k。根据归纳假设，C 中含有阶等于 p 的元素。

L. p-群的子群（Sylow 定理的铺垫）

设 p 为质数。p-群指所有元素的阶都是 p 的幂的群。设 G 为 p-群，由 Cauchy 定理可知 |G|=pk，其中 k 是某个自然数。这时，可以证明，对于任意 1≤m≤k，都存在一个 G 正规子群，其阶等于 pm。证明采用数学归纳法；假定该命题对于所有小于 G 的 p-群都成立。

证明 1 和 2。

L.1 G 的中心有一个元素 a 满足 ord⁡(a)=p。

证明设 G 的中心为 C。根据第十五章习题 G 可知 p∣|C|。根据 Cauchy 定理可知 C 中有一个阶等于 p 的元素，记它为 a。

L.2 ⟨a⟩ 是 G 的正规子群。

证明取任意 ak∈⟨a⟩ 和 x∈G。因为 a∈C，所以 ax=xa。于是 xakx−1=akxx−1=ak∈⟨a⟩ 这表明 ⟨a⟩ 对共轭封闭，因此是 G 的正规子群。

L.3 说明为什么 G/⟨a⟩ 存在阶为 pm−1 的正规子群。

证明显然平凡群 {e} 是阶为 1 的正规子群，这解决了 m=1 的情况。

因为 |G/⟨a⟩|=pk/p=pk−1<pk，所以根据归纳假设，它有阶为 p,p2,…,pk−1 的正规子群。这解决了 1<m≤k 的情况。

L.4 用 J.4 证明 G 有阶为 pm 的正规子群。

证明设 K=⟨a⟩ 以及 H=G/K。那么存在满同态 f:G→H，其核为 K。

设 S 是 H 的 pm−1 阶正规子群（L.3 证明了存在性），那么 S∗={x∈G:f(x)∈S} 是 G 的子群（J.1）。由 J.4 得 S≅S∗/K，于是 |S∗|=|S||K|=pm−1p=pm

由此可知 S∗ 是 G 的 pm 阶子群。只须证明它是正规子群即可。设 x∈G, y∈S∗，则 f(x)∈H 且 f(y)∈S。由 S 是正规子群可知 f(xyx−1)=f(x)f(y)f(x)−1∈S 因此 xyx−1∈S∗。

M. p-Sylow 子群

设 p 为质数。如果 H 是有限群 G 的子群，且 H 是 p-群，则称 H 是 G 的 p-子群。进一步，如果 K 是 G 的 p-子群且 K 是极大的（指 K 不被包含在更大的 G 的 p-子群中），那么 K 称为 G 的 p-Sylow 子群。

M.2 证明：G 的每个 p-Sylow 子群的共轭都是 p-Sylow 子群。

证明设 H 是 G 的 p-Sylow 子群。一般地，设共轭 H∗={axa−1:x∈H}(a∈G) 不难证明：

H∗ 是 G 的子群。
f(x)=axa−1 是 H→H∗ 的双射。因此 |H∗|=|H|，所以 H∗ 是 p-群。
H∗ 是极大的（否则，f−1(H∗)=H 也不是极大的）。

由以上几点可知 H∗ 也是 G 的 p-Sylow 子群。

设 K 是 G 的 p-Sylow 子群，且 N=N(K) 是 K 的正规化子。

M.3 设 a∈N，假定 Ka 在 N/K 中的阶是 p 的幂，设 S=⟨Ka⟩。证明：N 有子群 S∗ 满足 S∗/K 是 p-群。

证明同态 h(x)=Kx 是 N→N/K 的满同态，且核为 K。根据 J.4 可知 S∗={x∈N:h(x)∈S} 满足 S≅S∗/K。因为 |S|=ord⁡(Ka) 是 p 的幂，所以 S∗/K 是 p-群。

注这里引入 N 的目的是使得商群 N/K 可以作出。K 本身不一定是 G 的正规子群。

M.4 证明 S∗ 是 G 的 p-子群。然后说明为什么 S∗=K，以及为什么可以得到 Ka=K。

证明根据 J.1 可知 S∗ 是 N 的子群。这里 N⊆G，因此 S∗ 也是 G 的子群。设 |S|=pm 且 |K|=pn，那么 |S∗|=|S||K|=pm+n 可见 S∗ 是 p-群。因此它是 G 的 p-子群。

根据 J.2 可知 K⊆S∗。但根据 p-Sylow 子群的定义，K 是极大的。因此只可能是 K=S∗。于是 |S|=1，这表明 ord⁡(Ka)=1，因此 Ka 只可能等于 N/K 中的单位元 K。

M.5 用 M.3 和 M.4 证明：N/K 中（除单位元外）没有元素的阶是 p 的幂。

证明 M.3 和 M.4 证明了“如果 Ka 的阶是 p 的幂，那么 Ka 是单位元”，和要证的命题是等价的。

M.6 如果 a∈N 且阶为 p 的幂，那么 Ka（在 N/K 中）的阶也是 p 的幂（为什么？）于是，Ka=K。（为什么？）

证明设 ord⁡(a)=n=pk，那么 (Ka)n=K(an)=K。这表明 Ka 的阶是 n=pk 的约数，因此一定是 p 的幂。

根据 M.5 可知这种情况下一定有 Ka=K。

M.7 用 M.6 证明：如果 aKa−1=K 且 a 的阶是 p 的幂，那么 a∈K。

证明根据正规化子的定理，由 aKa−1=K 可得 a∈N。于是根据 M.6 可知 Ka=K。因此 a∈K。

N. Sylow 定理

设 G 为有限群，且 K 为 G 的 p-Sylow 子群。设 X 为 K 的所有共轭构成的集合。（参见习题 M.2。）如果 C1,C2∈X，记 C1∼C2 当且仅当 C1=aC2a−1 对某个 a∈K 成立。

N.1 证明 ∼ 是 X 上的等价关系。

证明略。（这和第十三章 I.1 的证明过程是一样的。）

因此，∼ 将 X 划分为等价类。如果 C∈X，记它的等价类为 [C]。

N.2 对任意 C∈X，证明 [C] 中元素个数是 |K| 的因子。作出结论：对于任意 C∈X，[C] 中元素个数是 p 的幂。

证明证明见第十四章习题 I.10。|K| 的因子是 p 的幂是显然的。

N.3 用 M.7 证明只含有一个元素的等价类一定是 [K]。

证明设等价类 [C] 只含有一个元素。这意味着对于任意 a∈K 都有 aCa−1=C 这里 C 是 p-Sylow 子群。因为 a∈K，所以 a 的阶是 p 的幂。因此，根据 M.7 可知 a∈C。

以上论证表明 a∈K⇒a∈C，因此 K⊆C。但 K 是极大的，所以只可能是 K=C。这就表明只含有一个元素的等价类只可能是 [K]。事实上，[K] 确实只有一个元素，因为 aKa−1=K 对任意 a∈K 都成立。

N.4 用 N.2 和 N.3 证明 X 中的元素个数为 kp+1，其中 k 是某个整数。

证明根据 N.2 可知 X 中每个等价类的元素个数都是 p 的幂。那么，除了 [K] 只有一个元素（由 N.3 证明了）外，别的等价类的元素个数都是 p 的倍数。因此 X 中的元素个数就是所有等价类元素个数之和，即 kp+1，其中 k 是整数。

N.5 用 N.4 证明 (G:N) 不是 p 的倍数。

说明这里 N 指 K 的正规化子：N={a∈G:aKa−1=K}。

证明根据第十四章 I.9 可知，K 的全部共轭共有 (G:N) 个。因此 (G:N)=|X|=kp+1 由此可知 (G:N) 不是 p 的倍数。

N.6 证明 (N:K) 不是 p 的倍数。

证明假设 p∣(N:K)=|N/K|。根据 Cauchy 定理，存在 Ka∈N/K，其中 a∈N，满足 ord⁡(Ka)=p。但这与 M.5 矛盾。因此假设不成立，所以 p∤(N:K)。

N.7 用 N.5 和 N.6 证明 (G:K) 不是 p 的倍数。

证明因为 (G:K)=(G:N)(N:K)，而右边都不是 p 的倍数，所以左边也不是 p 的倍数（否则可以由欧几里得引理推出矛盾）。

N.8 做出结论：设 G 是有限群，其阶为 pkm，其中 p∤m。那么 G 的每个 p-Sylow 子群 K 的阶都是 pk。

证明由 N.7 知 p∤(G:K)。而 pkm=|G|=(G:K)|K| 因此根据唯一分解定理可知 |K|=pk。

结合 N.8 和习题 L 得：

设 G 为有限群且 p 为质数。对任意满足 pn∣|G| 的整数 n，G 都存在阶为 pn 的子群。

以上称为 Sylow 定理。

注一个不太重要的细节：这里需要说明 p-Sylow 子群总是存在的。只须证明 p-子群总存在即可，因为其中总有一个是极大的（在 G 是有限群的前提条件下）。而根据 Cauchy 定理可以找到一个阶为 p 的子群，它就是一个 p-子群。