抽象代数习题(19) -- 商环

抽象代数习题(19) – 商环

Sat Jan 22, 2022

《抽象代数》第十九章讲了环论中的几个概念：

陪集、商环和同态基本定理。它们和群论中的概念都是相对应的，只是额外涉及到了乘法运算。
素理想 (prime ideal) 和极大理想 (maximal ideal)。这些概念在群论的章节中没有讨论过。

C. F(R) 的商环和同态的像

C.3 设 ϕ 是从 F(R) 到 F(Q,R) 的函数，定义为：将定义域限制在ϕ(f)=fQ=将 f 定义域限制在 Q 证明 ϕ 是从 F(R) 到 F(Q,R) 的满同态，并说明 ϕ 的核。

说明 F(Q,R) 是所有从 Q 到 R 的函数构成的环。

证明显然 ϕ 是 F(R) 到 F(Q,R) 上的映射。不难证明 ϕ 是满射：对于任意 f∈F(Q,R)，只需对输入值的自变量补充定义（输出值任取）即可得到函数 f~∈F(R)，并且 ϕ(f~)=f。

设 f,g∈F(R)，不难证明 ϕ(f+g)(x)=f(x)+g(x)=[ϕ(f)+ϕ(g)](x)ϕ(fg)(x)=f(x)g(x)=[ϕ(f)ϕ(g)](x) 所以 ϕ 是同态。结合满射可知 ϕ 是满同态。

C.4 设 J 是 F(R) 的子集，包含了所有满足“对任意有理数 x 都有 f(x)=0”的函数 f。结合 C.3 说明为什么 J 是 F(R) 的理想以及 F(R)/J≅F(Q,R)。

说明原书中此题似有排版错误。参考

证明根据题意， J={f∈F(R):∀x∈Q,f(x)=0} 这表明任意 f∈J 经 ϕ 得到的像 ϕ(f) 是 F(Q,R) 中的零元。因此 J 是 ϕ 的核。即 ϕ:F(R)→J→F(Q,R) 从而 J 是 F(R) 的理想。根据 FHT 可知 F(R)/J≅F(Q,R)。

D. 同态基本定理的基本应用

在以下各题中设 A 为交换环。如果 a∈A 且 n 为正整数，记号 na 表示项a+a+⋯+a(n 项)

D.1 假定 2x=0 对于任意 x∈A 都成立，证明 (x+y)2=x2+y2 对任意 x,y∈A 都成立。并作出结论：函数 h(x)=x2 是从 A 到 A 的同态。如果 J={x∈A:x2=0} 且 B={x2:x∈A}，解释为什么 J 是 A 的理想，B 是 A 的子环，以及 A/J≅B。

证明在交换环中有 (x+y)2=x2+2xy+y2 根据假定条件，2xy=0，所以 (x+y)2=x2+y2

易知 h 是 A→A 的映射。对任意 x,y∈A 有 h(x+y)=(x+y)2=x2+y2=h(x)+h(y)h(xy)=(xy)2=x2y2=h(x)h(y) 所以 h 是 A→A 的同态。

因为 J 是 h 的核，所以 J 是 A 的理想。[第十八章习题 F.2]
因为 B=h(A)，而 h 是到 A 的函数，所以 B 是 A 的子环。[第十八章习题 F.1]
根据 FHT 可知 A/J≅B。

E. 商环 A/J 的性质和 J 的性质的关系

设 A 是环，J 是 A 的理想。使用本章的条件 (1)、(2)、(3)。证明下列命题。

E.1 A/J 中的每个元素都有平方根，当且仅当对于任意 x ∈ A，存在 y ∈ A 使得 x - y² ∈ J.

说明本章的三个条件是

a ∈ J+b 当且仅当 J+a = J+b
J+a = J+b 当且仅当 a-b ∈ J
J+a = J 当且仅当 a ∈ J

证明

（必要性）设 x ∈ A。那么 J+x ∈ A/J。根据已知条件可知存在 J+y ∈ A/J ，其中 y ∈ A，使得 J+x = (J+y)² = J+y²。由条件 (2) 可知 (x-y²) ∈ J。

（充分性）设 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A。根据已知条件可知存在 y ∈ A 使得 (x-y²) ∈ J。由条件 (2) 可知 J+x = J+y² = (J+y)²。因此 J+x 有平方根 J+y。

E.6 A/J 含有单位元，当且仅当存在 a ∈ A 使得 ax - x ∈ J 和 xa - x ∈ J 对任意 x ∈ A 恒成立。

证明

（必要性）A/J 中含有单位元，设单位元是 J+a，其中 a ∈ A。那么对任意的 x ∈ A 有 J+x = (J+x)(J+a) = J+xa。根据条件 (2) 可知 xa - x ∈ J 对任意 x ∈ A 恒成立。同理可证 ax - x ∈ J 对任意 x∈ A 恒成立。

（充分性）对 A/J 中任意元素 J+x，有 (J+x)(J+a) = J+xa。根据已知条件，xa - x ∈ J，由条件 (2) 得 J+xa = J+x。同理可证 (J+a)(J+x) = J+x。所以 J+a 是 A/J 中的单位元。

F. 素理想和极大理想

设 A 是含单位元的交换环，J 是 A 的理想。证明下列命题。

F.1 A/J 是含单位元的交换环。

证明 A/J 是环，因此只须证明存在单位元以及乘法满足交换律即可。

（单位元）对于任意 J+x ∈ A/J，有 (J+1)(J+x) = J+1x = J+x 以及 (J+x)(J+1) = J+x1 = J+x。这表明 J+1 是 A/J 中的单位元。

（交换律）对于任意 (J+x),(J+y) ∈ A/J，有 (J+x)(J+y) = J+xy = J+yx = (J+y)(J+x)。这表明 A/J 满足乘法交换律。

F.2 J 是素理想当且仅当 A/J 是整环。

证明

（必要性）设 (J+a),(J+b) ∈ A/J，且 (J+a)(J+b) = J+ab = J。由条件 (3) 得 ab ∈ J。因为 J 是素理想，所以或者 a ∈ J 或者 b ∈ J。进一步由条件 (3) 可知，或者 J+a = J 或者 J+b = J。注意到 J 是 A/J 中的零元。这说明 A/J 中不存在零因子，所以 A/J 是整环。

（充分性）设 a,b ∈ J，且 ab ∈ J。则由条件 (3) 得 J+ab = (J+a)(J+b) = J。因为 A/J 是整环（不存在零因子），所以或者 J+a = J 或者 J+b = J。进一步由条件 (3) 可知，或者 a ∈ J 或者 b ∈ J。根据素理想的定义可知，J 是素理想。

F.3 A 的任意极大理想都是素理想。（提示：使用本章证明的命题“如果 J 是极大理想则 A/J 是域”）

证明设 J 是 A 的极大理想。那么 A/J 是域。域是整环的特例，根据 F.2 可知 J 是素理想。

F.4 如果 A/J 是域，那么 J 是极大理想。

证明一 根据同态基本定理可知存在 A 到 A/J 的满同态。根据第十八章习题 I.2 可知 J 是极大理想。

证明二 设 K 是 A 的理想且 J ⊊ K。因此存在 a ∈ K 但 a ∉ J。

根据条件 (3) 知 J+a ≠ J。这表明 J+a 是 A/J 中的非零元素。而 A/J 是域，并且单位元为 J+1，所以存在 J+b ∈ A/J 使得 (J+a)(J+b) = J+1。根据条件 (2) 知 (ab-1) ∈ J，从而 (ab-1) ∈ K。

因为 K 是理想（吸收乘法），所以 ab ∈ K。又因为理想对减法封闭，所以 1 = [ab - (ab-1)] ∈ K。

对于任意 x ∈ A，因为 K 吸收乘法，有 x = 1x ∈ K。这说明 A ⊆ K。根据理想定义，K ⊆ A。所以 K = A。

这表明没有比 J 大的真理想。因此 J 是 A 的极大理想。

G. 更多商环与其理想的关系

设 A 是环，J 是 A 的理想。（在 1–3 和 5 中假定 A 是含单位元的交换环。）

G.1 证明 A/J 是域当且仅当对于任意 a ∈ A 且 A ∉ J，存在 b ∈ A 使得 ab - 1 ∈ J。

证明

（充分性）取 A/J 中的非零元素 J+a，则 a ∈ A 且 a ∉ J。根据条件，存在 b ∈ A 使得 ab - 1 ∈ J。所以 J+ab = J+1。因为 J+ab = (J+a)(J+b)，而 J+1 是 A/J 中的单位元，所以 J+a 存在逆元 J+b。因此 A/J 是域。

（必要性）设 a ∈ A 且 A ∉ J。则 J+a 是 A/J 中的非零元素。因为 A/J 是域，所以存在 J+b ∈ A/J 使得 (J+a)(J+b) = J+1。因此 ab - 1 ∈ J。

G.2 证明 A/J 中的非零元素或者可逆或者是零因子，当且仅当下面的性质成立，其中 a,x ∈ A：对于任意 a ∉ J，存在 x ∉ J 使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

（充分性）取 A/J 中的非零元素 J+a，则 a ∈ A 且 a ∉ J。根据条件，存在 x ∈ A 且 x ∉ J 使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

如果 ax ∈ J，那么 (J+a)(J+x) = J+ax = J。因为 J+a 和 J+x 都是非零元素，而 J 是 A/J 中的零元，所以 J+a 是零因子。
如果 ax-1 ∈ J，那么 (J+a)(J+x) = J+ax = J+1。因为 J+1 是 A/J 中的单位元，所以 J+a 可逆，且逆是 J+b。

总之，J+a 或者可逆或者是零因子。

（必要性）取任意 a ∈ A\J。则 J+a 是 A/J 中的非零元素。根据条件，J+a 或者可逆或者是零因子。

如果 J+a 可逆，那么存在非零元素 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A\J，使得 (J+a)(J+x) = J+ax = J+1。从而有 ax - 1 ∈ J。
如果 J+a 是零因子，那么存在非零元素 J+x ∈ A/J，其中 x ∈ A\J，使得 (J+a)(J+x) = J+ax = J，从而有 ax ∈ J，

总之，存在 x ∈ A\J，使得或者 ax ∈ J 或者 ax - 1 ∈ J。

G.3 环 A 的理想 J 称为准素 (primary) 的，当且仅当对于任意 a,b ∈ A，如果 ab ∈ J，则或者 a ∈ J 或者存在正整数 n 使得 bn ∈ J。证明 A/J 中的每个零因子是幂零的当且仅当 J 是准素理想。

证明

（充分性）设 J+b 是 A/J 中的一个零因子，其中 b ∈ A\J。那么存在 J+a ∈ A/J，其中 a ∈ A\J，使得 (J+a)(J+b) = J。于是 ab ∈ J。根据准素理想定义，以及 a ∉ J，可知存在正整数 n 使得 bn ∈ J。因此 (J+b)n = J+bn = J。这说明 (J+b) 是幂零的。

（必要性）设 a,b ∈ A 且 ab ∈ J。分类讨论：

如果 a ∈ J，则不做进一步讨论。
如果 b ∈ J，则存在正整数 n=1 使得 bn ∈ J。
如果 a,b ∉ J，那么 J+a 和 J+b 均为 A/J 中的非零元素。但 (J+a)(J+b) = J+ab = J，因此 J+b 是零因子。根据条件，A/J 的每个零因子都是幂零的，因此 J+b 是幂零的。这说明存在正整数 n 使得 bn ∈ J。

综上所述，或者 a ∈ J，或者存在正整数 n 使得 bn ∈ J。这就说明了 J 是准素的。

H. ℤn 作为 ℤ 的同态的像

函数f(a)=a¯是从 Z 到 Zn 的自然同态。如果多项式方程 p=0 在 Z 中成立，那么必有 f(p)=f(0) 在 Zn 中成立。

举一个具体的例子：方程 11x2−8y2+29=0 有整数解（比如 x=3,y=4）。那么在 Z6 中一定有 x¯ 和 y¯ 满足 11―x¯2−8―y¯2+29―=0― 在 Z6 中成立，也就是 5―x¯2−3―y¯2+5―=0―（相应的解为x¯=3¯,y¯=4¯）。下列问题基于这个观察。

H.1 证明方程 x2−7y2−24=0 无整数解。

证明方程在 Z7 中对应的方程为 x¯2−3¯=0¯ 这个方程是无解的（枚举 0–6 即可）。所以原方程不可能有整数解。

H.2 证明方程 x2+(x+1)2+(x+2)2=y2 无整数解。

证明原方程等价于 3x2+6x+5=y2 在 Z3 中对应的方程为 2¯=y¯2 这个方程是无解的。所以原方程不可能有解。

H.3 证明方程 x2+10y2=n（其中 n 是整数）没有整数解，如果 n 的（十进制）末位数是 2、3、7 或者 8。

证明原方程在 Z10 中对应的方程为 x¯2=n¯ 这里 n¯ 对应于 n 的末位数字。因为 x¯2 所有可能的取值是 {0¯,1¯,4¯,9¯,6¯,5¯}，所以当 n 的末尾是 2、3、7 或者 8 时，原方程无整数解。

H.4 证明数列 3,8,13,18,23,… 不含完全平方数。

证明通项为 5n−2。列方程 5n−2=x2 在 Z5 中有 x¯2=3 而 x¯2 所有可能的取值为 {0¯,1¯,4¯}，因此原方程无整数解。所以该序列中不含完全平方数。

H.5 证明数列 2,10,18,26,… 不含立方数。

证明列方程 8n−6=x3 在 Z4 中有 x¯3=2 而 x¯3 所有可能的取值为 {0¯,1¯,3¯}，因此原方程无整数解。所以该序列中不含立方数。

H.8 证明连续三个整数的乘积的末位数一定是 0 或 4 或 6。

证明设 n=(x−1)x(x+1)=x3−x。在 Z10 中有 n¯=x¯3−x¯ 其中 n¯ 对应 n 的末位数。经计算得 n¯={0¯x¯=0¯,1¯,4¯,5¯,6¯,9¯,4¯x¯=3¯,8¯,6¯x¯=2¯,7¯. 这表明 n 的末位数一定是 0 或 4 或 6。

注需要考虑负数的情况。如果定义绝对值的末位为负数的末位，那么 x¯=0¯,4¯,6¯ 分别对应末位数字 0、6 和 4。幸运的是这不影响命题的正确性。