抽象代数习题(10) -- 群元素的阶

抽象代数习题(10) – 群元素的阶

Tue Jan 11, 2022

《抽象代数》第十章讲了元素的阶。对群中元素 a，满足 an = e 的最小正整数称为元素 a 的阶。如果不存在这样的整数，则称 a 的阶为无穷。

阶的概念把群的任意元素和单位元通过一个正整数联系起来。因为单位元的特殊性，阶具备一些特殊性质。这些特殊性质很大程度上也依赖于正整数的数论性质。

B.6 一个无限群是否可以有有限阶的元素？请解释。

答 可以。一个平凡的例子是单位元 e 的阶是 1。

一个不平凡的例子是考虑 G = { exp(iθ) : θ ∈ ℝ } 和复数乘法构成的群。在这样的群里，具有有限阶的元素有无数个，例如 -1 和 i。

D.2 求证：ak 的阶是 a 的阶的约数。

说明 证明本题需要使用书中的定理 5：如果 at = e，则 t 是 ord(a) 的倍数。

证明一 设 ord(a) = n。令 (ak)m = akm = e，下面试图求出满足要求的最小正整数 m。

显然，km 是 k 的倍数。而根据定理 5，km 必须是 n 的倍数。因此满足要求的最小的 km = lcm(k,n)，即 k 和 n 的最小公倍数。因为右边也是 k 的倍数，两边约去 k 后仍然是整数。因此 ord(ak) = m = lcm(k,n) / k。

根据初等数论知识，lcm(k,n)gcd(k,n) = kn。由此可知 m gcd(k,n) = n。因此 m 是 n 的约数。证明完毕。

证明二 （书后答案的证法）设 ord(a) = n，则 (ak)n = akn = e。把 ak 看作整体，由定理 5 得 n 是 ord(ak) 的倍数，命题得证。

注 显然我的证法复杂了，但好处是构造出了 ord(ak) 的表达式。这一点将在下面两题的证明中体现出来。

D.3 求证：如果 ord(a) = km，则 ord(ak) = m。

证明 根据 D.2 的“证明一”，可知 ord(ak) = lcm(k, km) / k = km / k = m。证明完毕。

D.4 求证：如果 ord(a) = n 是奇数，则 ord(a²) = n。

证明 根据 D.2 的“证明一”，可知 ord(a²) = lcm(2, n) / 2。因为 n 是奇数，lcm(2, n) = 2n。因此 ord(a²) = 2n / 2 = n。

D.6 求证：如果 a 是 G 中唯一的阶为 k 的元素，则 a 在 G 的中心中。

说明 G 的中心 Z(G) = {a ∈ G : ∀x ∈ G, ax = xa}，即和所有元素均满足交换律的元素构成的集合。

证明 对任意 x ∈ G，考虑 (xax⁻¹)n = xanx⁻¹ = e ⟺ an = e。这说明 ord(xax⁻¹) = ord(a) = k。但是阶为 k 的元素只有 a，这说明 xax⁻¹ = a。两边同乘以 a⁻¹ 得 ax = xa，因此 a ∈ Z(G)。