【解析几何】

基本定义

几何空间既可以看做所有点构成的几何，也可以看做所有以O为起点的所有向量构成的集合
是一种三维的线性空间（定义加法和数乘，并满足8条规则，见于上一篇博客）
因此任找d1,d2,d3作为基，任取一点O,便可以定义一个 仿射坐标系 [O;d1,d2,d3]

向量的积

叉乘

叉乘的定义
a×b=det|ijkaxayazbxbybz|

叉乘的性质

• ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b>
• 反交换律： a×b= -b×a
• 加法的分配律： a× (b+c) =a×b+a×c
• 与标量乘法兼容： (ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
• 不满足结合律，但满足雅可比恒等式： a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
• 分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
• 两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0
• 拉格朗日公式（非常有用） (a×b)×c=b(a·c)−a(b·c)
  a×(b×c)=b(a·c)−c(a·b)
  微分算子不成立

混合积

（可以记为[abc],(a,b,c),(abc)这三种形式）

混合积的定义
(a,b,c)=(a×b)⋅c

混合积的性质

• (a,b,c)=|xayazaxbybzbxcyczc|
  证明方法：(a,b,c)=a⋅(b×c)=(xa→i+ya→j+za→k)(|ybzbyczc|→i+|xbzbxczc|→j+|xbzbxczc|→k)
• (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)（可以用上一条性质导出）
  所以混合积也可以定义为(a,b,c)=(a×b)⋅c=a⋅(a×b)
• (a,b,c)任意两个向量交换位置，前面加个负号
• (a,b,c)的值是对应的平行六面体的 体积。对应，∣a×b∣的值是平行四边形的 面积

平面上的曲线

1. 摆线：圆在直线上滚动，圆上一点的轨迹
   {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)
2. 内摆线：小圆在大圆内滚动，小圆上一点的轨迹
3. 渐伸线：一根线绕圆上，拉紧解开，其中一点的轨迹
   {x=R(cosθ+θsinθ)y=R(sinθ−θcosθ)

二次曲线

F(x,y):=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33

TH
{F(x,y)=0x=x0+Xty=y0+Yt→Φ(X,Y)t2+[F1(x0,y0)+F2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0

• 如果Φ(X,Y)=0，渐进方向
• 如果Φ(X,Y)≠0
  • 如果F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0，那么(x0,y0)是中心
  • 考察{F1(x0,y0)=0F2(x0,y0)=0
    • 有唯一解：有中心
    • 有无穷多解：有无穷多中心组成线性
    • 无解：无中心

平面的方程

1. 混合积形式
   (→r−→r0,→a,→b)=0
2. 点位式 (a,b,c)=|x−xry−yrz−zrxayazaxbybzb|
3. 三点式 (a,b,c)=|xyz1xayaza1xbybzb1xcyczc1|=0
4. 点法式 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)

直线方程

1. 参数式
   {x=x0+Aty=y0+Btz=z0+Ct
2. 标准式
   x−x0A=y−y0B=z−z0C
3. 一般式
   {F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0

球面

1. 普通方程 (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2
2. 参数方程 {x=Rcosθcosψy=Rcosθsinψz=Rsinθ,−π/2≤θ≤π/2,−π<ψ≤π
   θ,ψ称为球面上的 曲纹坐标

旋转曲面

旋转曲面 一条曲线Γ绕一条直线l旋转所得的曲线称为旋转面。 母线 Γ叫做 母线 轴 l是 轴 纬圆 Γ上任意一点M0绕l旋转，可以得到一个圆，叫做 纬圆
(TH)纬圆与l垂直 经线(子午线) 过l的半平面与旋转曲面的交线叫做 经线
母线不一定是经线。

{Γ:{F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0l:x−x0A=y−y0B=z−z0C→{Γ:{F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0weixian:{A(x−x1)+B(y−y1)+C(z−z1)=0(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2→ 消去x1,y1,z1

应用1：旋转抛物面

{Γ:{y2=2pzx=0l:x0=y0=z1
方程为x2+y2=2pz

应用2:沿着另一条轴旋转

柱面方程

柱面 一条直线l沿着一条空间曲线C平行移动所形成的面称为 柱面
其中l是 母线 ，C是 准线

l:x−x0A=y−y0B=z−z0CC:{F1(x0,y0,z0)=0F2(x0,y0,z0)=0}，消去x0,y0,z0

应用1：圆柱面

母线是圆，l⊥C
按上面的方法计算，方程是x2+y2=R2

类似的，准线还可以是抛物线、双曲线等。

锥面方程

锥面 定点M0 与曲线 C 的连线组成的面称为 锥面
M0是 顶点 ，C是 准线

(x0,y0,z0){F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0}→{x−x0x1−x0=y−y0y1−y0=z−z0z1−z0F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0→ 消去x1,y1,z1

应用1：圆锥面

二次曲面

可以证明，二次曲面只有17种
椭球类
x2a2+y2b2+z2c2=1表示 椭球面
x2a2+y2b2+z2c2=−1表示 虚椭球面
x2a2+y2b2+z2c2=0表示 点

双曲面类
x2a2+y2b2−z2c2=1表示 单叶双曲面，x2a2+y2b2−z2c2=0是这个双曲面的渐进锥面
x2a2+y2b2−z2c2=−1表示 双叶双曲面

抛物面类
x2p+y2q=2z,(p>0,q>0)表示 椭圆抛物面
x2p−y2q=2z,(p>0,q>0)表示 双曲抛物面

锥面类
x2a2+y2b2−z2c2=0表示 二次锥面

柱面类
x2a2+y2b2=1表示 椭圆柱面
x2a2+y2b2=−1表示 虚椭圆柱面
x2a2+y2b2=0表示 直线
x2a2+y2b2=1表示 双曲柱面
x2a2−y2b2=0表示 一对相交平面
x2=2py表示 抛物柱面
x2=a2表示 一对平行平面
x2=−a2表示 一对虚平行平面
x2=0表示 一对重合平面

直纹面

直纹面 一个曲面S称为直纹面，如果存在一族直线，使得这一族中的每一条直线全在S上，并且S上的每个点都在这一族的某一条直线上，这样的一族直线称为S的一族直母线。

17个二次曲面中，哪些是直纹面呢？
显然，柱面类（9种）和锥面类（1种）是直纹面
椭球类（3种）不是直纹面
双叶双曲面，椭圆抛物面不是直纹面
单页双曲面，双曲抛物面是直纹面

参考文献

丘维声《解析几何》（北京大学出版社）