【统计时序】GARCH

2017年07月17日

Author: Guofei

文章归类: 4-3-时间序列，文章编号: 445

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原文链接：https://www.guofei.site/2017/07/17/arch.html

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ARCH模型又叫自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic process）

ARCH的定义

如果一个随机过程εtεt的平方ε2tεt2服从AR(p)过程，即
ε2t=a0+a1ε2t−1a1+a2ε2t−1+…+aqε2t−q+ηtεt2=a0+a1εt−12a1+a2εt−12+…+aqεt−q2+ηt,
其中，ηtηt独立同分布，且有E(ηt)=0,D(ηt)=λ2(t=1,2,…)E(ηt)=0,D(ηt)=λ2(t=1,2,…), 那么称εtεt服从q阶的ARCH过程,记为
εt∼ARCH(q)εt∼ARCH(q)

假定

εt/ht−−√∼N(0,1)εt/ht∼N(0,1)
那么构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+εtεt=ht−−√etht=w+∑j=1qλjε2t−j{xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+εtεt=htetht=w+∑j=1qλjεt−j2

或者说，残差的平方符合AR(p)模型，ε2t∼AR(q)εt2∼AR(q)

GARCH

ARCH 模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程
GARCH 模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+εtεt=ht−−√etht=w+∑i=1pηiht−i+∑j=1qλjε2t−j{xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+εtεt=htetht=w+∑i=1pηiht−i+∑j=1qλjεt−j2
where,
w>0,ηi≥0,λj≥0w>0,ηi≥0,λj≥0 参数非负
∑i=1pηi+∑j=1qλj<1∑i=1pηi+∑j=1qλj<1 参数有界

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【统计时序】GARCH