【Complex Analysis2】Julia set

julia set

我们讨论这个迭代式 f(z)=z2+cf(z)=z2+c

问题1

为什么不用更一般化的迭代式呢 p(z)=az2+bz+dp(z)=az2+bz+d？
令ϕ(z)=az+b/2,c=ad+b/2+(b/2)2ϕ(z)=az+b/2,c=ad+b/2+(b/2)2，有ϕ(p(z))=f(ϕ(z))ϕ(p(z))=f(ϕ(z))

也就是，有下面这个图。

进一步的，p=ϕ−1∘f∘ϕp=ϕ−1∘f∘ϕ
再进一步，pn∘=ϕ−1∘fn∘∘ϕpn∘=ϕ−1∘fn∘∘ϕ

结论是，我们只需要研究 f(z)=z2+cf(z)=z2+c 就可以了

(本节fnfn表示 fn∘fn∘)

定义

Julia set 是x的这样一个集合，其邻域对迭代表现出混沌性。
相反，Fatou set 是x的这样一个集合，其邻域对迭代不表现出混沌性。
Julia set 和 Fatou set 是补集

例子
以f(z)=z2f(z)=z2为例，对应的 julia set 是 {z∣∣z∣=1}{z∣∣z∣=1}，对应的 Fatou set 是补集。

定义A(∞)={z:fn(z)→∞}A(∞)={z:fn(z)→∞}，那么这个集合有如下性质：

• A(∞)A(∞) is open, connected, unbounded
• A(∞)A(∞)是 Fatou set 的子集
• A(∞)A(∞)的边界是 Julia set

• Fatou set is open and unbounded
• Julia set is closed and bounded set
• J(f)∩F(f)=∅J(f)∩F(f)=∅
• completely invariant f(J)=J,f(F)=Ff(J)=J,f(F)=F

例子 f(z)=z2−2f(z)=z2−2
引入ϕ(w)=w+1/wϕ(w)=w+1/w,就有z2=ϕ−1∘f∘ϕ(z)z2=ϕ−1∘f∘ϕ(z)
可以找到A(∞)A(∞), 进而找到边界 Julia set is [−2,2][−2,2]
（过程不难，但有点绕，可以在纸上画一画）

数值方法

我们有这个定理：
对于f(z)=z2+c,R=1+1+4∣c∣−−−−−−−√2f(z)=z2+c,R=1+1+4∣c∣2
如果∣z0∣>R∣z0∣>R，那么z0∈A(∞)z0∈A(∞) （也就是说limn→∞fn∘(z0)=∞limn→∞fn∘(z0)=∞）

所以，∃n,fn∘(z0)>R⟹z0∈A(∞)∃n,fn∘(z0)>R⟹z0∈A(∞)
（在迭代过程中，如果任意一次迭代，其值大于R，那么后面的值就趋近于无界）

这给我们一种用迭代法找 Julia set 的方法：
在迭代过程中，任意一次迭代值大于 R，就剔除 Julia set，到 max_iter 后画图
进一步，根据第一次出现R的迭代步骤的不同，可以涂上不同的颜色。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

c = -0.75 + 0.2j
R = (1 + np.sqrt(1 + 4 * abs(c))) / 2

n_grid = 1000
Z = np.linspace(-2, 2, n_grid).reshape(1, n_grid) + np.linspace(2, -2, num=n_grid).reshape(n_grid, 1) * 1j
Julia_set = np.zeros_like(Z)
max_iter = 50
for i in range(max_iter):
    Z = np.where(Julia_set == 0, np.square(Z) + c, 2 * R)  # 已归入 Julia set 的点，记为大数，之后不再参与计算
    Julia_set = np.where((Julia_set == 0) & (np.abs(Z) > R), i, Julia_set)
    # 第一次归入Julia set，记入其迭代次数，如果不想画彩图，把i改为1

Julia_set = np.where(Julia_set == 0, 2 * max_iter, Julia_set)  # 到最后都没有剔除的点，赋值为 2*max_iter
plt.imshow(np.abs(Julia_set))
plt.show()

Mandelbrot set

c的集合，使得 J(f)J(f)是连通集。
精确的定义：M={c∈C:J(z2+c) is connected}M={c∈C:J(z2+c)isconnected}

例如，0,−2,0.25∈M,1∉M0,−2,0.25∈M,1∉M

TH1
J(f) is connected⟺0∉A(∞)J(f)isconnected⟺0∉A(∞)

TH2
c∈M⟺∣fn∘∣≤2,∀n≥1c∈M⟺∣fn∘∣≤2,∀n≥1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n_grid = 1000
c = np.linspace(-2, 2, n_grid).reshape(1, n_grid) + 1j * np.linspace(2, -2, n_grid).reshape(n_grid, 1)
Mandelbrot = np.zeros_like(c)
f_z = 0
max_iter = 30

for i in range(max_iter):
    f_z = np.where(Mandelbrot == 0, np.square(f_z) + c, 1e8)  # 已经被归入 Mandelbrot set 的点，记为很大，之后不再参与计算
    Mandelbrot = np.where((Mandelbrot == 0) & (np.abs(f_z) > 2), i, Mandelbrot)  # 记录首次大于2的迭代次数，如果不想画彩图，把 i 换成 1

Mandelbrot = np.where(Mandelbrot == 0, max_iter, Mandelbrot)
plt.imshow(np.abs(Mandelbrot))
plt.show()

（强烈建议跑一下这段代码，缩小c的范围，同时扩大迭代次数）

• M is connected
• M⊂B2(0)M⊂B2(0)
• M的边界点叫做 Misiurewicz points，其性质是 fn∘(0)fn∘(0) is pre-periodic, but not periodic
  （c=ic=i就是一个 Misiurewicz point，以此为例形象化说明，根据定义，c使Julia set介于连通集和非连通集之间，所以Julia set更像一条线，无限放大这条线，看起来就像分形曲线。与此同时，因为Mandelbrot的稠密和花纹性质，在i周围无限放大，也得到分形曲线）
• Misiurewicz points 这条边界线稠密

Big Open Conjecture
The Mandelbrot set is locally connected, that is, for every c∈Mc∈M and every open set V with c∈vc∈v, there exists an open set U such that c∈U⊂Vc∈U⊂V and U∩MU∩M is connected.

参考资料

coursera:Introduction to Complex Analysis