推荐《数学奥林匹克与数学人才：数学奥林匹克文集》

奥数备受关注，同时又最受争议。推荐看一下这本书，主笔是历届 IMO 国家队成员或奥数亲历者，奥数老师，奥数教练或组织者。

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节选：奥数问答，单壿

对有关奥数的一些问题，谈谈自己的想法。不一定正确，仅供参考。这些问题是：

1. 什么是奥数？
2. 奥数的目的是什么？
3. 中国在 IMO 中屡获金牌，为什么至今没有人得菲尔兹奖？
4. 为什么很多人反对奥数？
5. 有人说「奥数与升学挂钩，增加了学生负担」。是不是这样？小孩子要不要学奥数？
6. 中国有很多年在 IMO 中团体第一，但近三年却失去第一把交椅，而韩国却在 2016 年拿了第二，在 2017 年拿了第一，为什么？

1、什么是奥数？

奥数已流行了很多年，这个问题似乎不必回答。然而很多误解与责难，往往是由于不明白奥数是什么而产生的。所以还得说一说奥数是什么。

奥数，当然是奥林匹克数学的简称。

随着数学奥林匹克的开展，产生了奥林匹克数学这个词。

不知道国外什么时候出现这个词。国内在文献上见到奥林匹克数学可能是我于 1987 年发表的一篇文章《数学奥林匹克与奥林匹克数学》（《曲阜师范大学学报》第 8 卷第 2 期， 60～63 页， 1987 年 4 月）。

简称「奥数」，可能是从华东师范大学出版社出版的《奥数教程》的第一版(2000 年）开始流行起来。

奥林匹克数学是数学。

奥林匹克数学不是脑筋急转弯。

树上有 10 只鸟，一枪打死 1 只鸟，树上还有几只鸟？这样的问题，不是数学，也不是奥数。

当然，奥数只是数学中的一个部分。

通常教材中的数学内容并不是奥数。奥数应当是数学中最有趣的、最需要思考、最能体现创造性的内容。奥数也往往有深刻的背景与卓越的思想。

例如，一笔画的问题。

这个问题就适合于课外讲座与数学奥林匹克。

奥数的问题需要的知识并不多，更需要的是能力：阅读能力、理解能力、解决问题的能力……

奥数的问题应有一定的竞争性，这样才能激发学习兴趣。竞争性的题当然较有难度，开始时难度不宜过大，但不一定能想得到，而一旦看到答案，又觉得其实不难，是可以做出来的，只是有那么一层窗户纸未能被捅破。总之，就像悬在头上的苹果，得踮起脚才能够到。当然，随着比赛级别的增长，问题的难度也会逐步增大。全国联赛的难度应高于省内竞赛，冬令营（ CMO ）又高于全国联赛。

有人将知识下移，例如在小学讲排列组合公式，这并非奥数。加法原理、乘法原理可以在小学课外讲，因为有趣而且不难，但硬将高中知识搬到小学就不合适了。就像小学生跑步，一般不宜距离太长，跑马拉松显然得身体更成熟些。奥数也是如此。所以，过分下移的知识也不属于奥数内容。

有些问题，例如较复杂的应用题，若用初中知识不难解决，不要塞进小学奥数。同样，若用高中知识容易解决的问题，也不要塞进初中奥数。

目前，人们说到奥数，往往不仅是指奥林匹克数学，而是包括了一切与之有关的内容，如竞赛活动、培训学校（奥校），等等。为了说起来方便，下面的奥数也多作这种广义的理解，应当不会造成歧义。

2、奥数的目的是什么？

奥数的目的很清楚。

首先是发现有数学天赋的人才，加以培养。

这一方面，数学奥林匹克的成绩显著， 2000 年后，菲尔兹奖的 14 位得主中，至少 8 位在 IMO 中得过奖。如澳大利亚的陶哲轩（ Terence Tao ）、越南的吴宝珠（ Ng Bo Chu ）、英国的高尔斯(Timothy Gowers ）、俄罗斯的佩雷尔曼（ Grigori Perelman ）、法国的拉福格(Laurent Lafforgue ）、伊朗的米尔札哈尼（ Maryam Mirzakhani ）等，都是 IMO 的奖牌获得者。还有一位舒尔茨（ Peter Scholze ， 1987—），真是天才，连续参加四届 IMO(2004 年至 2007 年），先后获得一银三金，然后读了三年大学两年硕士。硕士毕业时写的论文创建了一种新的理论，因而直接获得博士学位。再后来当了波恩大学教授，先后获得拉马努金奖、克雷研究奖、柯尔奖、奥斯特洛斯基奖、费马奖、莱布尼茨奖、欧洲数学会奖等大奖。四年一颁的菲尔兹奖， 2018 年也已落入他的囊中。

当然，有数学天赋的人不一定都从事数学研究。因为他们面前的世界很广宽，而数学研究只是一方天地。

我们参加 IMO 的选手，有很多从事数学研究，如颜华菲、高峡、王崧、恽之玮、姚一隽等，也有很多转入其他行业，如从事软件开发的李平立、蒋步星等，从事金融业的库超、张朝晖、姚健钢等，更有从事奥数教育的，如王锋、邹瑾等。

总之，奥数培养了大批人才。奥数的另一个目的是普及数学。

因为奥数，数学方面的书籍增加了很多。我国的出版物就是很好的证据。其中上海教育出版社、华东师范大学出版社、中国科学技术大学出版社、哈尔滨工业大学出版社等成绩尤为显著。

又有很多数学期刊，如《中等数学》等，也随着奥数繁荣。

不仅有很多青少年学习奥数，他们的家长有不少也学习奥数，甚至有不少爷爷辅导孙子学习奥数。形成老中青少全民学习奥数的热潮，促进了数学的传播。

讲奥数的培训机构与学校，更是遍地开花。很多已是纳税大户，为 GDP 的增长作出贡献。

奥数也促进了数学教材的改革，不少数学教材中引入了奥数的问题，特别是教材中的思考题或「想一想」等内容。

数学教师的数学水平更因奥数得到提高。

3、中国在 IMO 中屡获金牌，为什么至今没有人得菲尔兹奖？

国际数学家大会每四年评选一次，选出数学研究工作出色的、年龄不超过 40 岁的数学家（通常不超过 4 名），授予菲尔兹奖。

数学研究与数学竞赛相差很大。

如用体育比赛来作不很准确的比方，从事数学研究的是专业选手，参加 IMO 的只是业余选手。

参加 IMO 的选手是中、小学生（大学生不能参加）。他们通常还要上四年大学，再读研究生。这才进入研究工作的领域。因此，在知识方面，他们尚欠缺许多，亟须增长。

更重要的是，数学研究需要创造性，独一无二的独创性。

做 IMO 的题目，当然也需要创造性，但那些题目都是别人拟就的，并且已有了现成的解答。

而从事研究，往往需要自己去寻找问题，更要寻求一条从未有人走过的路径去解决问题。有时，虽然有前人的足迹，而却是指向错误方向的，小心上当。

做 IMO 的题，需要一两个小时，而做研究，花几千个小时也未必能有结果。甚至会赔上整整一生。张益唐六十岁才出成果。没有成功的当然远比成功的为多。

做研究，要熬得住寂寞，长时间的寂寞。在数学这象牙塔里待久了，不免会觉「蓬莱宫里日月长」「世界那么大，想出去看看」。于是，很多人与数学研究拜拜了。

人各有志。数学这块地方，也不需要太多的人。所以很多人，尤其是我国 IMO 的选手，不从事数学研究，而去做其他事，甚至当和尚，也都是正常的，未可厚非。

当然，数学竞赛与数学研究并非毫无关系。

肯定是正相关。

数学竞赛的问题，虽然是已经解决了的问题，但对年轻人来说，正是很好的练习，就好像学徒一样，先学习前人的思想、方法，逐步提高。数学竞赛就是提高的基础。

创造能力，未必都是天生的，多半是一步一步，从小的创造开始，到中等级别的创造。如果努力，又有机遇，也许会作出大的创造。

数学竞赛是一块试金石，培养了兴趣、毅力，提高了眼界，养成了品味（知道什么是好的数学）。

数学竞赛将广袤的数学天地展现在年轻人的面前。

当然，竞赛只是入门，后面修行需要很长很长的时间。

其实，我国 IMO 的选手有不少从事数学研究，而且也取得不少成就（反过来说，我国从事数学研究、获得成果的人，不少都参加过数学竞赛，学过奥数），如许晨阳、何旭华、倪忆、袁新意、肖梁、余君等。其中有多人成为各自领域中的砥柱，得过各种奖项，如恽之玮就获得过拉马努金奖。

或许，在不久的将来，我国就有人获得菲尔兹奖。

此外，从事其他行业的也有多人取得不俗的成果。前面已举过一些，很希望有人能做跟踪的调查与报道。

我国至今无人获得菲尔兹奖的一个原因就是我国至今无人获得菲尔兹奖。美、俄、法、德等数学强国早就有多人获得菲尔兹奖。就是日本，也先后有小平邦彦、广中平祐、森重文等三人获得过菲尔兹奖。有名师，自然易出高徒。

我国的数学研究，在 1949 年后，由于种种原因，已经脱离了主流数学。即使像吴文俊这样当时在法国极有可能获得菲尔兹奖的，回国后也不再继续做相关的研究。多年来，我国数学远远落后于世界先进国家。要赶上去当然需要相当长的时间，不可能一蹴而就。

数学竞赛的兴起，有可能为中国数学赶超世界先进水平创造出良好的条件。

数学研究是一座金字塔。不仅需要顶尖的人才，也需要各个层级的人才。目前中国的数学竞赛正为各个层级提供了不少人才，顶尖的人才应当就在其中。

相信时间会证明这一点，但不能操之过急。

一旦中国有了一流的导师，一流的人才就会不断涌现。

4、为什么有很多人反对奥数？

有一些人反对奥数，不一定很多，没有做过统计。

反对的原因，恐怕不尽相同，得由他们自己作答才更准确。我只能根据他们的言论，揣测他们的想法。

反对的人中，大部分只是人云亦云，赶时髦，随风倒。近日甚至看到有位「高考状元」也与「奥数」划清界限，说自己从未学过奥数。结果有人搜索，发现她不但从小上奥数学校，而且还在竞赛中得过奖。

一次见到一位不很熟的朋友，他说：「对不起，昨天我又骂奥数了。」我不等于奥数，骂奥数并非骂我，用不着对我说「对不起」。但这位朋友是书法家，根本不懂奥数。骂奥数的人中，这样的人比例不小。他们在学生时代不喜欢甚至厌恶数学。年龄大了，就把对数学的恨意发泄到奥数上。

更有些家长，因为不会做家中小孩的奥数题，觉得太丢面子，于是也加入到骂奥数的人中。

骂奥数，其实就是骂数学，是一种反智的表现。

而数学则强调不要盲从，要怀疑，要思索。即使是师长或权威的话，也要看看能否证明是正确的，确凿无疑的方可相信。这大概就是一些人反对奥数的原因。

有人举出几位数学家，说他们也反对奥数。

一位是陈省身先生。他说过，「对于研究，数学竞赛的题目都不是好题目」。

陈先生的话没错，研究需要创新，而竞赛题都是别人做过的，当然不能作为研究的问题。反过来，已有结果的研究问题，倒可以取出其中的初等部分作为竞赛题。

但陈省身先生从未反对数学竞赛。相反地，他听到我国连续在 IMO 中夺魁的消息非常高兴，「今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛中获得第一……去年也是第一名」（陈省身 1990 年 10 月在中国台湾成功大学的讲演「怎样把中国建为数学大国」）。

另一位是华罗庚先生。有人撰文说华先生曾经因为支持竞赛做过检查。这是「文革」中的事。显然不能作为华先生不支持竞赛的证明。相反地，华先生一贯支持竞赛。「文革」前倡导过，「文革」结束后，立即组织了 1978 年的全国联赛，亲自做报告、讲解答。

第三位是丘成桐先生。丘先生的确抱怨过手下有几个人奥数得过奖，但研究能力却未必突出。但这只表明竞赛与研究是有区别的，并不表明丘先生反对数学竞赛。随着很多金牌选手获得菲尔兹奖，丘先生似也不再继续抱怨了。

5、有人说「奥数与升学挂钩，增加了学生负担」。是不是这样？小孩子要不要学奥数？

「奥数与升学挂钩」，作为奥数的一条罪状，十分可笑。因为与升学挂钩，需要一定的权力。至少是一校之长或某教育部门的负责人才有此权力，奥数哪里有呢？所以，奥数显然不该承担这一罪名。

当然，有不少中学或大学看重奥数成绩，愿意优先录取奥数的获奖生。这是因为奥数获奖的学生确实优秀，而且奖牌可靠。

奥数声誉好，是光荣，不是罪过。

说到学生负担，称一下书包就清楚：负担太重了。这些年，小升初的考试取消了，但小升初、初中升高中、高中升大学的政策却常常变动，令学生、教师、家长均丈二金刚摸不着头脑，不知该怎么做为好。其实，「文革」前后的十余年，学生负担均远比现在轻（称称书包立即分晓）。学生并不怕考试，而是怕不明白的考试，不知考什么。张景中院士说得好：「如果平时学得多，考得少，负担就轻。反之平时学得少，考得多，负担就重。」

奥数与学生负担的加重毫无关系。

要不要学奥数？

这应当由学生自己决定。如果有兴趣，就可以学。如果学了一段时间，兴趣没有了，也可以停止不学。家长不需要强迫学生学奥数。

学奥数当然有好处，可以拓宽眼界、培养能力（如观察、猜测、推理、论证的能力）。即使遇到困难，也可受到挫折教育。通常学奥数，应当是数学学习较好的同学。有些家长因为学生数学差，逼他去学奥数，那是不对的，将奥数当成补习班了。不过，也有学生数学并不很好（当然也不能很差），去学奥数，发现自己在数学学习方面很有潜力的。

有些家长与学生一道学奥数，这是值得提倡的。一是学习可以增进亲情，知道进度与难易。对很多家长来说，也是再学习（继续学习）的好机会。最使我感动的是有七十多岁的爷爷与孙子一起学奥数，其实老人学小学奥数是避免阿尔兹海默症的好方法，这一点在很多国家（如日本）都得到证实。

6、中国有很多年在 IMO 中团体第一，但近三年却失去了第一把交椅，而韩国却在 2017 年拿了第一，为什么？

首先，奥数是一种比赛，比赛总会有变化，不可能永远占据第一，所以得第二或第三也是正常的。

当然，亚洲国家与地区的 IMO 成绩突飞猛进也是有道理的（ 2017 年，前 10 名参赛队依次为韩国、中国、越南、美国、伊朗、日本、新加坡、泰国、中国台湾、英国。其中亚洲的国家与地区有 8 个）。

东亚受儒家文化影响很深，历来重视学习。但近几十年，一些「教育家」受西方教育思想的影响，放弃了传统的教、学方式。如：强调学习的平等性，韩国实行平准教育；强调减轻学生负担、快乐学习，日本实行宽松教育；强调素质反对应试，中国大陆与中国台湾都推行所谓教育改革，减少甚至取消考试（包括升学考试）。其结果是教学质量下降，优秀的学生没有获得应有的培养，较差的学生仍然较差。但韩国率先扭转了这种局面，重新提出精英教育，努力提高教师的专业水平。对于奥数，以举国体制加以支持（就像中国对待某些体育项目一样）。不少数学家参加奥数的指导。我在第 30 届（ 1989 年） IMO 时，见到韩国的领队，他就是一位代数数论的专家。

日本已在纠正宽松教育，中国台湾也对前一阵李远哲领导的教育进行反思。

还是孔子的因材施教正确。对不同的人，应施行不同的教育，让他们各自发展自己的长处，获得不同的发展。

奥数就是一种英才教育。

重视培养英才的区域，奥数的成绩就好。

我国「文革」后的十几年，对各科竞赛比较重视，除升学有优惠政策外，历届参加国家队训练的教练员也都颁发教委（教育部）与科协的奖状。1986 年，我国选手第一次获得金牌。河南省的领导亲自到火车站迎接河南省的金牌选手方为民，并颁发三千元奖金（在当时是笔不小的钱）。1990 年，第 31 届 IMO 在中国举行。后来，当时的党政主要领导接见了各学科的竞赛选手与教练。

近年来，我国对学科竞赛的关注不如以前。当然，选手与教练们并不因此而放松。但若有方方面面的鼓励与支持（哪怕是精神方面），当然有所促进。

数学家的参与，是我国奥数取得好成绩的一个重要原因。

尤其华罗庚先生，在「文革」结束不久，就亲自主持、组织了第一届全国高中数学联赛。

中科院数学所与一些高校，如中国科学技术大学、北京大学、复旦大学、南开大学，都有很多专家教授，为热爱数学的学生举办讲座，选拔培训 IMO 的选手。曾肯成、龚昇、史济怀、常庚哲、李炯生、严镇军、姜伯驹、舒五昌、黄玉民、杜锡录、苏淳、单墫、余红兵、张筑生、熊斌、李伟固、姚一隽等都为中国的数学奥林匹克事业作出自己的贡献（限于篇幅，只列出一部分名单，请原谅）。

数学家的参与，使得奥数的质量与品味有很大的提高。学生们受到熏陶，对数学的内容、方法、意义有了更深入的理解，有的学生从此立志当数学家或科学家。

近年来，数学界对奥数的关注不如以前，数学家参加奥数活动的人次也不多。不谈解题的讲座几乎没有。冬令营也好，集训队也好，基本上就是考试。对题目的解法也较少讨论。过分的功利可能反而会起一些负作用，影响竞赛时的发挥。

中国数学奥林匹克委员会多次换届，对人事的安排颇费心事，但对集训等具体工作似未多研究讨论。最初是有一个教练组（还有一个命题组），后来教练组取消了。其实，有一个四五人的教练组（人员可有变更，但不要换得太频繁），对历年的试题、集训内容、当年集训选手的优缺点等进行研究与讨论，对提高成绩或许有所帮助。

例如， 2017 年我国选手在第 1、第 4 两题拿了满分，表明我国选手有实力，在做最容易的 IMO 试题方面十分稳定。最难的是第 3、第 6 两题，第 6 题数论内容又是中国的强项，拿到 31 分，比韩国多 7 分（前 8 名得分见下表），充分展现了中国队的实力。但第 3 题太难，似只有俄罗斯 1 人满分。绝大多数选手颗粒无收，我国选手也与其他国家差不多，不占优势。这一年负于韩国的原因是我们的选手在第 2、第 5 两题得分不理想。第 2、第 5、第 6 三题前 8 名的成绩如下：

第 2 题	第 5 题	第 6 题	总分
韩国	39	22	24	170
中国	25	19	31	159
越南	36	21	14	155
美国	29	23	12	148
伊朗	32	17	9	142
日本	21	23	7	134
新加坡	26	22	4	131
泰国	30	17	1	131

可见，我国选手做 IMO 的中等难度的题，能力并非特强，甚至还在一些国家之下，未可盲目乐观。第 2 题，我国在前八名中得分倒数第二，比韩国整整差了 14 分，这也正是 2017 年韩国压倒中国的原因所在。其实，这一题与 2015 年的第 2 题极为类似，都是要将变量增加 1 ，把(f(f(x)f(y))， f(x+y)， f(xy)分别变为 f(f(x)f(y)+1)， f(x+y+1)， f(xy+1)。如果研究过 2015 年的那道题，或者请熟悉函数方程的专家，如广州大学吴伟朝教授作一讲座，兴许这道题的成绩会大幅度提高，第一名也就是中国了。

第 5 题考得不好，很出我意外，因为这题可从简单的情况 N=2 做起， N=2 做好了再推广至一般（见《国际数学竞赛解题方法》第 53 节，上海教育出版社）。或许选手太爱直接解决一般问题，不屑做特殊情况。这种想法不太妥当。

总之，奥数希望有更多人参加，特别希望我国的数学家能够投入更多的关注，保持我国奥数长盛不衰，为我国乃至世界的数学事业作出贡献。

Q. E. D.