【严平稳过程】

设 {X(t),t∈T} 是一随机过程，若对任意的 n≥1 和任意的 t1,t2,⋯,tn∈T 以及使 t1+τ,t2+τ,⋯,tn+τ∈T 的任意实数 τ，n 维随机向量 (X(t1),X(t2),⋯,X(tn)) 和 (X(t1+τ),X(t2+τ),⋯,X(tn+τ)) 有相同的联合分布函数，即

F(t1,⋯,tn;x1,⋯,xn)=F(t1+τ,⋯,tn+τ;x1,⋯,xn),ti∈T,xi,τ∈R

则称 {X(t),t∈T} 是严平稳过程，或称 {X(t),t∈T} 具严平稳性

根据定义可以看出，严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而发生改变

其所有的一维分布函数与 t 无关，即

F(t;x)=F(x)

所有的二维分布函数仅是时间间隔的函数，与两个时刻本身无关

F(t1,t2;x1,x2)=F(t1+τ,t2+τ;x1,x2)=F(0,t2−t1;x1,x2)

那么，若 {X(t),t∈T} 是一个二阶矩过程，且是一个严平稳过程，其均值函数有

μX(t)=∫−∞+∞xdF(t;x)=∫−∞+∞xdF(x)≜μX(c),c∈R

其相关函数有

RX(s,t)=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2dF(s,t;x1,x2)=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2dF(0,t−s;x1,x2)≜RX(t−s)

即一、二阶矩存在的严平稳过程的均值函数是常数，相关函数是时间间隔的函数，与时间起点无关

【宽平稳过程】

设 {X(t),t∈T} 是二阶矩过程，若

1. 对 ∀t∈T，有 μX(t)=μX(c),c∈R
2. 对 ∀s,t∈T，有 RX(s,t)=RX(t−s) 或 ∀τ∈R,t,t+τ∈T,RX(t,t+τ)=RX(τ)

则称 {X(t),t∈T} 为宽平稳过程，简称平稳过程

一般来说，严平稳过程不一定是宽平稳过程，这是因为严平稳过程的定义只涉及有限维分布，而并不要求一、二阶矩存在，但对二阶矩过程，严平稳过程必定是宽平稳过程

反过来，宽平稳过程不一定是严平稳过程，这是因为宽平稳过程的定义只要求均值函数与时间无关，且相关函数仅依赖于时间间隔，而与时间的起点无关，推导不出随机过程的有限维分布不随时间的推移而发生改变

但若 {X(t),t∈T} 是正态过程，则 {X(t),t∈T} 是严平稳过程的充要条件是：{X(t),t∈T} 为宽平稳过程

【周期平稳过程】

若平稳过程 {X(t),t∈T} 满足：

X(t+T0)=X(t),t∈T,t0∈R

则称 {X(t),t∈T} 是周期为 T0 的周期平稳过程

其相关函数也是周期函数，且周期与 {X(t),t∈T} 周期相同，即

RX(τ+T0)=E[X(t)―X(t+τ+T0)]=E[X(t)―X(t+τ)]=RX(τ)

【平稳过程的相关函数】

设 {X(t),t∈T} 是平稳过程，则其相关函数有如下性质：

1）RX(0)=E[|X(t)|2]≥|μX|2≥0

2）RX(τ)―=RX(−τ)

3）|RX(τ)|≤RX(0)

4）RX(τ)=RX(t−s) 具非负定性，即对 ∀n≥1，t1,t2,⋯,tn∈T，与复数 a1,a2,⋯,an 有

∑k=1n∑l=1nRX(tl−tk)ak―al≥0

此外，若 {X(t),t∈T} 是实平稳过程，则其相关函数为偶函数，即

RX(−τ)=RX(τ)

【平稳过程的随机分析】

若 {X(t),t∈T} 是平稳过程，则 {X(t),t∈T} 均方连续的充要条件是：RX(τ) 在 τ 处连续

若 {X(t),t∈T} 是平稳过程，则以下命题成立：

1）{X(t),t∈T} 均方可导的充要条件是：相关函数 RX(τ) 在 τ=0 处一阶导数存在，二阶导数存在且连续

2）{X(t),t∈T} 均方可导的必要条件是：相关函数 RX(τ) 在 τ=0 处一阶导数存在，二阶导数存在且连续

3）若 {X(t),t∈T} 均方可导，则其导数过程 {X′(t),t∈T} 仍为平稳过程，且

μX′(t)=0RX′(τ)=−RX″(τ)

若 {X(t),−∞<t<+∞} 是均方连续的平稳过程，f(t) 为分段连续函数，则在任何有限区间 [a,b] 上，下列积分在均方意义下存在

∫abf(t)X(t)dt

且对任一分段连续函数 g(t)，有

E[∫abg(s)X(s)ds∫abf(t)X(t)dt]=∫ab∫abg(s)―f(t)RX(t−s)dsdt

【联合平稳的平稳过程】

设 {X(t),t∈T} 和 {Y(t),t∈T} 是两个平稳过程，若 ∀s,t∈T，有

RXY(s,t)=RXY(t−s)

则称 {X(t),t∈T} 和 {Y(t),t∈T} 是联合平稳的平稳过程

其相关函数有如下性质：

RXY(τ)―=RYX(−τ)|RXY(τ)|2≤RX(0)RY(0)|RYX(τ)|2≤RX(0)RY(0)

进一步，若 {X(t),t∈T} 和 {Y(t),t∈T} 都是实平稳过程，则其相关函数满足

RXY(−τ)=RYX(τ)