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平稳过程的谱分解
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平稳过程的谱分解
【复平稳过程的谱分解】
设 {X(t),−∞<t<+∞} 是零均值均方连续的平稳过程，其谱函数为 FX(ω)，则
X(t)=∫−∞+∞ejωtdZ(ω),−∞<t<+∞称为 {X(t),−∞<t<+∞} 的随机谱函数，其中
Z(ω)=l.i.m T→+∞12π∫−TTe−jωt−1−jtX(t)dt,−∞<ω<+∞【实平稳过程的谱分解】
设 {X(t),−∞<t<+∞} 是零均值均方连续的实平稳过程，其谱函数为 FX(ω)，则
X(t)=∫0+∞cosωtdZ1(ω)+∫0+∞sinωtdZ2(ω),−∞<t<+∞称为 {X(t),−∞<t<+∞} 的随机谱函数，其中
Z1(ω)=l.i.m T→+∞1π∫−TTsinωttX(t)dt,−∞<ω<+∞Z1(ω)=l.i.m T→+∞1π∫−TT1−cosωttX(t)dt,−∞<ω<+∞【随机谱函数的意义】
以复平稳过程为例，由于
X(t)=∫−∞+∞ejωtdZ(ω),−∞<t<+∞X(t)=l.i.m T→+∞∫−TTejωtdZ(ω)将区间 [−T,T] 等分为 2N 个子区间，根据均方积分的定义
X(t)=l.i.m T→+∞l.i.m N→+∞∑k=−N+1NejtkNT(Z(kTN)−Z((k−1)TN))说明均方连续的平稳过程 {X(t),−∞<t<+∞} 可以看成振幅为 Z(kTN)−Z((k−1)TN)，角频率为 kTN 的谐分量的有限次叠加和的均方极限
简单来说，X(t) 是谐分量 dZ(ω)ejtω 的无限叠加和
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