【时间平均与时间相关函数】

设 {X(t),−∞<t<+∞} 是平稳过程，若下列均方极限存在

<X(t)>=l.i.m T→+∞12T∫−TTX(t)dt

则称 <X(t)> 是 {X(t),−∞<t<+∞} 在 (−∞,+∞) 上的时间平均

若对于固定的 τ，下列均方极限存在

<X(t)―X(t+τ)>=l.i.m T→+∞12T∫−TTX(t)―X(t+τ)dt

则称 <X(t)―X(t+τ)> 是 {X(t),−∞<t<+∞} 在在 (−∞,+∞) 上的时间相关函数

从定义上来看，平稳过程的时间平均是随机变量，时间相关函数是一族随机变量

在实际应用中，通常只考虑定义在 [0,+∞) 上的平稳过程，那么平稳过程的时间平均和时间相关函数有相应的下述形式

设 {X(t),t≥0} 是平稳过程，则其时间平均为：

<X(t)>=l.i.m T→+∞1T∫0TX(t)dt

对于固定的 τ，时间相关函数为：

<X(t)―X(t+τ)>=l.i.m T→+∞1T∫0TX(t)―X(t+τ)dt

【各态历经性】

在实际应用中，确定随机过程的均值函数和相关函数是十分重要的，但要确定随机过程的数字特征，一般需要知道过程的一、二维分布，而这需要对一个过程进行大量的重复试验，有时这难以做到

由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，那么一个自然而然的问题就是：能否从一个时间范围内观察到的一个样本函数，或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征？

如果能从随机过程的一个样本函数中获得其各种统计特性，那么称该特性为各态历经性，具有各态历经性的随机过程只需要一个样本函数，即可表示出它的数字特征

下面给出相关的定义：

1）设 {X(t),−∞<t<+∞} 是平稳过程，若时间平均

<X(t)>=μX

以概率 1 成立，则称 {X(t),−∞<t<+∞} 的均值具有各态历经性

2）设 {X(t),−∞<t<+∞} 是平稳过程，若对任意实数 τ，时间相关函数

<X(t)―X(t+τ)>=RX(τ)

以概率 1 成立，则称 {X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数具有各态历经性

3）若平稳过程 {X(t),−∞<t<+∞} 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称 {X(t),−∞<t<+∞} 具有各态历经性，或称 {X(t),−∞<t<+∞} 为各态历经过程

【均值各态历经性的判定】

设 {X(t),−∞<t<+∞} 是平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞12T∫−2T2T(1−|τ|2T)CX(τ)dτ=0

进一步，若 {X(t),−∞<t<+∞} 是实平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞1T∫02T(1−τ2T)CX(τ)dτ=0

对于定义在 [0,+∞) 上的平稳过程 {X(t),t≥0}，其均值具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞1T∫0T(1−|τ|T)CX(τ)dτ=0

进一步，若 {X(t),t≥0} 是实平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞2T∫0T(1−τT)CX(τ)dτ=0

【相关函数各态历经性的判定】

设 {X(t),−∞<t<+∞} 是平稳过程，令

Y(t)=X(t)―X(t+τ),−∞<t,τ<+∞

则 {X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数，就是 {Y(t),−∞<t<+∞} 的均值函数，即

RX(τ)=μY(t)

因此，要讨论 {X(t),−∞<t<+∞} 相关函数各态历经性，只需研究 {Y(t),−∞<t<+∞} 的均值各态历经性即可

设 {X(t),−∞<t<+∞} 和 {Y(t),−∞<t<+∞} 都是平稳过程，则 {X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞12T∫−2T2T(1−|τ|2T)(RY(u)−|RX(τ)|2)du=0

进一步，若 {X(t),−∞<t<+∞} 和 {Y(t),−∞<t<+∞} 都是实平稳过程，则 {X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞1T∫02T(1−u2T)(RY(u)−(RX(τ)2)du=0

对于定义在 [0,+∞) 上的平稳过程 {X(t),t≥0} 和 {Y(t),t≥0}，{X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞1T∫−TT(1−|u|T)(RY(u)−|RX(τ)|2)du=0

进一步，若 {X(t),t≥0} 和 {Y(t),t≥0} 都是实平稳过程，则{X(t),−∞<t<+∞} 的相关函数具有各态历经性的充要条件是：

limT→+∞2T∫0T(1−uT)(RY(u)−(RX(τ)2)du=0