【矩阵直积】

设 A=[aij]∈Cm×n,B∈Cp×q，则对于矩阵 A 与矩阵 B，称

A⊗B=[a11Ba12B⋯a1nBa21Ba22B⋯a2nB⋮⋮⋱⋮am1Bam2B⋯amnB]

为矩阵 A 与矩阵 B 的直积，或克罗内克（Kronecker）积

矩阵的直积具有如下性质：

设 A∈Cm×n,B∈Cp×q,C∈Cr×s，则：

1）λ(A⊗B)=(λA)⊗B=A⊗(λB)

2）A⊗(B⊗C)=(A⊗B)⊗C=A⊗B⊗C

3）(A⊗B)T=AT⊗BT，(A⊗B)H=AH⊗BH

4）当 D∈Ck×k 且 nq=rk 时，(A⊗B)(C⊗D) 有意义，且当 n=r,q=k 时，有

(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)

5）当 p=m,q=n 时，有

(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗CC⊗(A+B)=C⊗A+C⊗B

6）当 p=m,q=n,E∈Cr×s 时，有

(A+B)⊗(C+E)=A⊗C+A⊗E+B⊗C+B⊗E

7）当 m=n,p=q 且 A−1,B−1 存在时，有

(A⊗B)−1=A−1⊗B−1

8）当 p=m,q=n 时，有

tr(A⊗B)=trA⋅trB

9）设 A∈Cm×m,B∈Cn×n，λ,μ 分别是 A,B 的特征值，相应的特征向量为 u,v，则 λμ 是 A⊗B 的特征值，相应的特征向量为 u⊗v

10）设 A∈Cm×m,B∈Cn×n，则

|A⊗B|=|A|n⋅|B|m

【拉直运算】

设 A=[aij]∈Cm×n，则向量

A→=[a11,a12,⋯,a1n,⋯,am1,am2,⋯,amn]∈Cmn

称为矩阵 A 的拉直运算

可以发现，矩阵的拉直运算是一种线性运算，即对 ∀A,B∈Cm×n，有

aA+bB→=aA→+bB→,∀a,b∈C

与直积关系

设 A∈Cm×n,X∈Cp×q,B∈Cq×n，则有

AXB→=(A⊗B)X→

该关系可用于求解矩阵方程问题，即将矩阵方程组

A1XB1T+A2XB2T+⋯+AsXBsT=F

化为线性方程组

(A1⊗B1T+A2⊗B2T+⋯+As⊗BsT)X→=F→

其中，Ai∈Cm×p,Bi∈Cq×n,X∈Cp×q,F∈Cm×n

当 p=m,q=n 时，上述线性方程组有唯一解的充要条件是

|A1⊗B1T+A2⊗B2T+⋯+As⊗BsT|≠0

例如：求解矩阵方程 AX+XB=F，其中

A=[110−1],B=[512−1],F=[1326−1],X=[x1x2x3x4]

利用拉直运算，将 AX+XB=F 化为线性方程组

(A⊗I2+I2⊗B)X→=F→A⊗I2+I2⊗B=[621010010042001−2],X→=[x1x2x3x4],F→=[1326−1]|A⊗I2+I2⊗B|=20≠0

故线性方程组有唯一解，解得

X→=[2011]T

故原矩阵方程的解为

X=[2011]