【统计时序1】工具

【统计时序1】工具

3 years ago

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2018年04月19日

Author: Guofei

文章归类: 4-3-时间序列，文章编号: 441

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原文链接：https://www.guofei.site/2018/04/19/statisticaltimeseries.html

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统计时序的基本概念

定义

随机序列按时间排序与的一组随机变量
…,X1,X2,…,Xt,… 观察值序列 x1,x2,…,xt

我们的目的是 通过观察值序列，去推断随机序列的性质 。

概率分布族

Ft1,t2,…,tm(x1,x2,…,xm)

特征统计量

均值ut=EXt=∫+∞−∞xdFt(x)
方差DXt=∫+∞−∞(x−ut)dFt(x)
自协方差γ(t,s)=E(Xt−ut)(Xs−us)
自相关系数ρ(t,s)=γ(t,s)DXtDXs−−−−−−−−√

方法性工具

1. 差分算子

一阶差分 ∇xt=xt−xt−1
p阶差分 ∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1
k步差分 ∇k=xt−xt−k

2. 延迟算子

相当于把当前序列值得时间向过去拨了1个时刻 xt−p=Bpxt,

例如，xt−1=Bxt,xt−2=B2xt,
∇1xt=(1−B)xt,∇2xt=(1−B)2xt

2-1. 延迟算子的性质

B0=1
B(cxt)=cBxt
B(xt+yt)=Bxt+Byt
Bnxt=xt−n
(1−B)n=∑(−1)nCinBi

∇pxt=(1−B)pxt
∇kxt=(1−Bk)xt

3. 线性差分方程

线性差分方程 zt+a1z1+a2z2+…+apzp=h(t) 齐次线性差分方程 zt+a1zt−1+a2zt−2+…+apzt−p=0

3-1. 解齐次线性差分方程

step1：特征方程: λp+a1λp−1+a2λp−2+…+ap=0
step2：特征方程的根称为特征根，记为λ1,λ2,…λp
step3：齐次差分方程的通解为：
不相等的实数根：zt=c1λt1+c2λ2+…+cpλtp
有相等的实数根：zt=(c1+c2t+…+cdtd−1)λt1+ctd+1+…+cpλtp
复根：zt=rt(c1eitw+c2e−itw)+c3λt3+…+cpλtp