【统计时序】非平稳数据的处理

对于不平稳的时序数据，一种思路是转化为平稳数据，也就是分解出趋势性、季节性、随机性

差分

Cramer 分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息
差分运算实际上也是某种自回归方式
∇d=xt=(1−B)dxt∑i=0d(−1)iCidxt−i∇d=xt=(1−B)dxt∑i=0d(−1)iCdixt−i

足够多次数的差分可以充分提取原序列中的非平稳确定性信息
过渡差分会损失有用信息
（可以用方差来检验是否过渡差分）

例如， xt=bt+atxt=bt+at
那么, ∇1xt∇1xt方差为2σε2σε
∇2xt∇2xt方差为6σε6σε

差分处理趋势性

对于线性趋势考虑一阶差分
对于曲线趋势，继续差分，直到信息完全提取

差分处理季节性

以周期为步长，做s步差分
Wt=∇DsYtWt=∇sDYt

ARIMA

就是差分用于ARMA模型
具体略过

随机游走模型(背景略，模型结构如下)
xt=xt−1+εtxt=xt−1+εt
Eεt=0,Var(εt)=σ2ε,E(εtεs)=0,s≠tEεt=0,Var(εt)=σε2,E(εtεs)=0,s≠t
Exsεt=0,∀s<tExsεt=0,∀s<t

随机游走模型实际上就是ARIMA(0,1,0)

ARIMA的性质

ARIMA(p,d,q)

当d≠0d≠0时，模型非平稳

当d≠0d≠0时，原序列方差非齐性
当d=0d=0时，原序列方差齐性
以ARIMA(0,1,0)为例，
VAR(xt)=tσ2εVAR(xt)=tσε2
VAR(∇xt)=σ2εVAR(∇xt)=σε2

疏系数模型

疏系数模型就是ARIMA(p,d,q)模型，但其中部分系数为0
记做ARIMA((p1,…,pm),d,(q1,q2,…qn))ARIMA((p1,…,pm),d,(q1,q2,…qn))
其中，pi,qjpi,qj代表非0的系数

例如，ARIMA((1,3),1,2)表示二阶自回归系数为0

至于参数计算，就是用经典的MLE方法啦

季节模型

模型本身另一篇博客里讲解过。

简单季节模型

假设xt=St+Tt+Itxt=St+Tt+It
∇D∇dxt=Θ(B)Φ(B)εt∇D∇dxt=Θ(B)Φ(B)εt

乘积季节模型

∇d∇DSxt=Θ(B)Φ(B)ΘS(B)ΦS(B)εt∇d∇SDxt=Θ(B)Φ(B)ΘS(B)ΦS(B)εt

残差自相关性

Auto-Regressive
xt=Tt+St+εtxt=Tt+St+εt
没什么新东西，主要是对εtεt做ARIMA
还有DW检验等，与线性回归很类似了。

残差异方差性

跟回归的残差异方差性一样的处理方法 看这里【回归分析】理论与实现.

方差齐性变化

（前提是需要事先知道异方差的形式）
具体内容见于 【回归分析】理论与实现.

条件异方差模型

ARCH
GARCH
EGARCH
AR-GARCH

参考资料

小象学院-时间序列分析
易丹辉《统计预测：方法与应用》，人民大学出版社
庞皓《计量经济学》，科学出版社（十二五规划教材）
赵国庆《计量经济学》，中国人民大学出版社（十一五规划教材）