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两名高中生发现毕达哥拉斯定理的“不可能”证明

当一个结果已经存在了像毕达哥拉斯定理那么长时间(至少已经有4000年历史)，你可能会期待不会有太多新内容需要讲述。但是，正如来自纽奥良的两名高中生可能已经证明的那样，总有更多需要学习的地方，在这种情况下，这是大多数数学家几个世纪以来认为不可能的东西。

“在三角学被发现的2000多年里，人们一直假定任何基于三角学的毕达哥拉斯定理证明必然是循环的，”《数学家在春季东南部专题会议上进行了的讲话的摘要》如是说。

“但这并不完全正确，”他们认为。“在我们的讲座中，我们提供了毕达哥拉斯定理的新证明，该证明基于三角学的一个基本结果——正弦定理——我们证明该证明与毕达哥拉斯三角恒等式sin2x + cos2x = 1无关。

”这是一个在数学界造成了相当大骚动的结果。“我个人对两个高中生能想出这个证明感到非常兴奋，”YouTube上MathTrain的一个视频中说。“在这个定理已经探索了这么长时间的领域里，新的想法是很难得的，所以我很期待看到完整的论文发表。”

那么，数学家对这个新证明感到兴奋的确切原因是什么?首先，让我们提醒自己毕达哥拉斯定理到底在说什么：对于一个直角三角形，有两条边标记为a和b，最长的边标记为c，该定理告诉我们a²+ b²= c²。

几个世纪以来，人们提出了许多该小事实的证明，从简单的几何证明到代数计算或解析证明等。

然而，很少有证明依赖三角学，也就是说，研究几何图形中的角度和长度比率。之所以如此，是因为大多数基本的三角学规则本身都依赖于毕达哥拉斯定理，这意味着任何这样的证明很可能最终变成循环论证，而不是真正产生任何逻辑意义。

但正如Johnson和Jackson指出的，这个规则也有一些例外，包括数学家所知的正弦定理。如果我们把与边a相对的角度标记为角A，把与边b相对的角度标记为角B，把与边c相对的角度标记为角C，那么正弦定理说： sinA/a = sinB/b = sinC/c。

尽管这是一个典型的三角关系(正弦函数的定义就是直角三角形两条边之间的比率)，但你不需要更高级的知识就可以证明这个等式。这意味着它独立于毕达哥拉斯定理，因此可以作为证明的基础而不会造成任何逻辑困难。

那么，这对年轻的数学家是如何从这里继续的呢?遗憾的是，由于证明是作为演讲而不是论文提交的，所以还没有发表，但幸运的是，报道这两个女孩成就的当地新闻电视台显示了她们的幻灯片，热心的网上数学家已经急切地想要自己找出潜在的新证明。

放大你在视频中可以看到的幻灯片，你实际上可以相当容易地重构这个证明，”MathTrain解释说。“我只花了约一个小时......这真的很有趣。”

MathTrain随后演示的证明同时简单又巧妙。首先，我们构造一个直角三角形(毕达哥拉斯定理的任何证明的第一步)并标记边和角。到目前为止，一切正常。

下一步开始变得更有趣。我们在图中添加更多三角形：首先，我们通过在一边添加其镜像来加倍原始三角形;然后，我们延长此镜像三角形的斜边，直到它与原始斜边垂直的线相交。

结果是一个新的直角三角形，一条边长度为c，一条边长度为x，和一条斜边长度为z。但是证明的关键不在于这个更大的图形，而在于填充它的更小图形。

“构造的最后一部分是将这个大三角形划分为无穷多个较小的直角三角形，这些直角三角形都与我们最初画的相似，”MathTrain解释说。“Johnson和Jackson注意到，随着你越来越深入这个无穷的下降，相邻三角形之间的比率是a/b。” 从这里可以看出，长度x和z只是这些相继三角形斜边的和。这本来很好，如果不是因为它们无穷多，需要加和。

于是我们进入无限级数的世界，在这种情况下，是无限等比级数。幸运的是，这些是经过深入研究的，并且相当容易处理，一个简单的公式告诉我们需要的长度： x = c/b²-a² ∙ 2ab 和 z = c/b²-a² ∙ (a² + b²)。

很容易看出这些等式非常相似，“实际上，如果我们取这两个因素的商，这两个因素将相互抵消，我们将只剩下ab/c2，”MathTrain指出。

现在，终于，正弦定理发挥作用。根据正弦函数的定义，我们知道sinA/a 等于sin(2A)，通过将原始直角三角形及其镜像组成的三角形应用正弦定理，我们可以看出sin(2A)又等于ab/c。这给我们留下了一些看起来已经非常像毕达哥拉斯定理的东西：

事实上，仅仅做一点重新排列和消去就能揭示这个等式一直都在那里。

“虽然我不确定Johnson和Jackson是否就是这样做证明的，但这个证明应该和我看到的新闻报道相当相似，”MathTrain说。“我看到它主要依赖的唯一主要定理是角-角定理和正弦定理，这两个定理的证明与毕达哥拉斯定理完全无关。”

当然，像任何数学论证一样，这个证明需要同行评议才能正式接受，但至少在数学上，它似乎是严密的。该组织鼓励他们将其结果提交正式同行评议，美国数学学会执行董事Catherine Roberts告诉当地新闻电视台WDSU：“这将允许我们社区的成员检查他们的结果，确定他们的证明是否是数学文献的正确贡献。”

本文译自 IFLScience，由 八里 编辑发布。

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