TinyRenderer学习笔记04：透视投影

在之前的学习中，我们绘制的人头模型都是以正交投影的方式绘制的。但是现实空间中是有透视关系存在的，这就是我们今天所努力的目标。

二维线性变换

平面上的线性变换可以用对应的矩阵来表示。

如果我们取一个点(x,y)，那么它的变换可以写成如下形式：

最简单的（非退化）变换是恒等式，这时点没有任何移动：

矩阵的对角线系数提供了沿坐标轴的缩放，让我们来说明一下，如果我们进行以下转换：

这时，白色多边形将被转换为黄色多边形：

红色和绿色线段分别为x和y的单位长度向量

矩阵很方便。我们可以这样表达整数个对象的变换：

这个2x5矩阵实际上就是上面提到的多边形顶点。我们把所有顶点放在一个数组中，乘以变换矩阵，就得到了变换后的物体。

虽然矩阵很方便，但是它也存在着一定问题。在一个场景中，我们需要通过连续的许多变换来变换我们的对象：

vec2 foo(vec2 p)$return vec2(ax+by, cx+dy);
vec2 bar(vec2 p)$return vec2(ex+fy, gx+hy);
// [..]
for$(each p in object)${
    p = foo(bar(p));
}

这段代码对我们对象的每个顶点都进行了两次线性变换，而我们经常以百万为单位计算这些顶点。

在一行中进行几十次变换的情况并不罕见，这将导致数千万次的操作，计算开销真的很大。在矩阵中，我们可以预先将所有的变换矩阵相乘，并对我们的对象进行一次变换。

让我们继续来看看其他系数对对象的影响：

得到的结果：

这是一个沿x轴的剪切变换。所以我们也能类比出来另一个反对角线元素是沿y轴的剪切变换。

因此在一个平面上有两种基本的线性变换：

• 缩放
• 剪切

但是直觉告诉我们，还应该有一个“旋转变换”。

其实，任何旋转（围绕原点）都可以表示为三个剪切的复合动作，

这里，白色物体先被剪切为红色物体，然后被剪切为绿色物体，最后被剪切为蓝色物体。

不过这太复杂了，其实可以直接写出旋转矩阵：

我们可以将矩阵按任意顺序相乘。但是请注意，矩阵的相乘不可交换：

从图形上也很好理解：剪切一个物体然后再旋转它，与旋转它然后再剪切它是不一样的。

二维仿射变换

我们说平面上任何线性变换都是缩放和剪切的组合。这意味着我们可以靠这两个变换完成我们任何想要的效果——除了平移。

平移并不是线性的，让我们尝试在执行线性变换后添加平移：

现在我们得到了一个“完美”矩阵，它可以完成：缩放、剪切、旋转和平移。

但是我们可能会遇到多次变换的结果，他们组合起来就像这样：

即使只是一次组合，事情就已经足够糟糕了，更别提我们还需要更多次组合变换。

试着想象一下，给我们的变换增加一列一行，使其成为3x3矩阵，并在我们要变换的向量上附加一个永远等于1的坐标。

如果我们把这个矩阵和增量为1的向量相乘，就会得到另一个最后一个分量为1的向量，但其他两个分量的形状正好是我们想要的形状。

这个方法真的很简单，平行平移在二维空间中不是线性的，所以我们把我们的二维空间嵌入到三维空间（增加1的分量）。这意味着我们的二维空间是三维空间中的平面z=1。然后我们进行了一个线性的三维变换，并将结果投射到我们的二维平面上。平行平移没有变成线性平移，但是这真的很简单。

至于我们如何将三维投射到二维平面：

Z=0的极限状态

当z=0时，矩阵：
[xy0]
变成了一个无限长的向量，而不是点。

当我们想要组合变换的时候，例如我们需要围绕一个点(x0,y0)旋转一个二维物体，我们只需要：

在三维空间中，这种序列会更长一些，但是道理是一样的：我们只需要用很少的基础变换，就可以表示任意的组合动作。

3x3矩阵的底行

我们试着改变3x3矩阵的底行，看看会有什么变化：

这是原始图像：

这是变换后的效果：

在这里我们实际上改变了透视关系，

我们以二维的角度去看（就像ybuffer那样），将摄像机放在(5,0)，将二维对象投影到x=0上。

我们使用中心投影，摄像机指向原点，为了找到投影，我们可以绘制一些追踪直线：

然后在不改变这些黄色线段的基础上，用变换后的对象替换掉原始对象：

靠近摄像机的垂直线被拉伸，远离摄像机的垂直线被缩小。如果我们正确的选择系数，那我们就会得到一个透视（中心）投影的图像。

这个魔法矩阵以很简单的方式完成了复杂的工作：

全3D下的情况

我们刚才都在二维空间下进行操作，现在我们需要将其类比到三维空间。

类比二维仿射变换，我们需要将一个点(x,y,z)增维到(x,y,z,1)，然后在四维空间中进行变换并投射回三维：

投影到三维后：

让我们暂时搁置这个结果，回到中心投影的定义上来。

一个很简单的理解方式：给定一个点P=(x,y,z)，我们想要把它投影到平面z=0上，相机在z轴上的点(0,0,c)上：

三角形ABC和ODC是相似的。这意味着我们可以写出以下内容：
|AB||AC|=|OD||OC|→xC−z=x′c
也就是：

同理可证：

这和我们刚才说的搁置的结果很相似，但是我们通过单个矩阵乘法就得到了结果。我们得到了系数的规律：
r=−1C

全三维的情况下：

我们以矩阵中的方式变换了我们的对象，获得了透视的效果：