线性同余方程

介绍¶

形如 ax≡c(modb) 的方程被称为 线性同余方程(Congruence Equation)。

「NOIP2012」同余方程

求解方法¶

根据以下两个定理，我们可以求出同余方程 ax≡c(modb) 的解。

定理 1：方程 ax+by=c 与方程 ax≡c(modb) 是等价的，有整数解的充要条件为 gcd(a,b)∣c。

根据定理 1，方程 ax+by=c，我们可以先用扩展欧几里得算法求出一组 x0,y0，也就是 ax0+by0=gcd(a,b)，然后两边同时除以 gcd(a,b)，再乘 c。然后就得到了方程 acgcd(a,b)x0+bcgcd(a,b)y0=c，然后我们就找到了方程的一个解。

定理 2：若 gcd(a,b)=1，且 x0、y0 为方程 ax+by=c 的一组解，则该方程的任意解可表示为：x=x0+bt，y=y0−at, 且对任意整数 t 都成立。

根据定理 2，可以求出方程的所有解。但在实际问题中，我们往往被要求求出一个最小整数解，也就是一个特解 x=(xmodt+t)modt，其中 t=bgcd(a,b)。

代码实现

// C++ Version
int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}
bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}

# Python Version
def ex_gcd(a, b ,x, y):
  if b == 0:
      x = 1; y = 0
      return a
  d = ex_gcd(b, a % b, x, y)
  temp = x
  x = y
  y = temp - a // b * y
  return d

def liEu(a, b, c, x, y):
  d = ex_gcd(a, b, x, y)
  if c % d != 0:
      return 0
  k = c // d
  x = x * k
  y = y * k
  return 1