状态设计优化
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状态设计优化
概述¶
优化 dp 时，不止可以从转移过程入手，加速转移。有时，也可以从状态定义入手，通过改变设计状态的方式实现复杂度上的优化。
令人比较头疼的是，这类优化大多不具有通用性，即不能很套路地应用于多个题目中。因此，下文将从具体例题出发，力求提供思路上的启发，希望可以对读者有一定帮助。
例 1¶
题面
给定两个长度分别为 n,m 且仅由小写字母构成的字符串 A,B, 求 A,B 的最长公共子序列。(n≤106,m≤103)
朴素的解法¶
您一眼秒了它，这不是板子吗？
定义状态 fi,j 为 A 的前 i 位与 B 的前 j 位最长公共子序列，则有
上述做法的时间复杂度 O(nm)，无法通过本题。
更优的解法¶
我们仔细一想，发现了一个性质：最终答案不会超过 m。
我们又仔细一想，发现 LCS 满足贪心的性质。
更改状态定义 fi,j 为与 B 前 i 位的最长公共子序列长度为 j 的 A 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）
可以通过预处理 A 的每一位的下一个 a,b,⋯,z 的出现位置进行 O(1) 的顺推转移。
复杂度 O(m2+26n)，可以通过本题。
例 2¶
题面
给定一个 n 个点的无权有向图，判断该图是否存在哈密顿回路。(2≤n≤20)
朴素的解法¶
看到数据范围，我们考虑状压。
设 fs,i 表示从点 1 出发，仅经过点集 s 中的点能否到达点 i。记 g 为原图的邻接矩阵。则有
时间复杂度 O(n2×2n)，写得好看或许能过，但是并不优美。
更优的解法¶
上面的状态设计中，每个 dp 值只代表一个 bool 值，这让我们觉得有些浪费。
我们可以考虑对于每个状态 s 将 fs,1,fs,2,…,fs,n 压成一个 int，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 O(1) 转移。
时间复杂度 O(n×2n), 可以通过这道题。
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