货币的时间价值

货币的时间价值

Wed Nov 2, 2016

货币的时间价值是利息的(理论)来源。利息的计算是一个很有意思的问题。单利和复利属于比较简单的计算。 设一笔资金的现值是PV，每期利率是r，那么N期之后，按照复利计算，它的价值FV=PV(1+r)N. 这就是著名的复利公式。

当每期都有新投入的现金时，就变得复杂起来。举个例子：银行贷款提供两种分期还款的方式：等额本息和等额本金。怎样计算每期应当偿还的金额？

等额本息，即在每期末偿还一笔相同的金额PMT（也有在每期初还款的，暂不讨论这种情况），其中一部分是上期余额产生的利息，剩下的是偿还的本金。上期余额扣除本期偿还的本金后，成为本期余额……这个过程看起来挺复杂，其实利用货币的时间价值很容易算出PMT：把每期支付的金额归算为现值：

• 第1期：PMT1+r
• 第2期：PMT(1+r)2
• 第N期：PMT(1+r)N

将它们相加，总的现值 PV=PMT[(1+r)−1+(1+r)−2+⋯+(1+r)−N]=PMT(1+r)−1[1−(1+r)−N]1−(1+r)−1=PMT1−(1+r)−Nr. 这也就是你每期支付PMT的情况下，银行愿意贷款给你的金额。反过来说，如果你打算贷款x，就可以根据此式算出每期的还款额 PMT=r1−(1+r)−Nx.

举例来说，某人申请了银行贷款10000元，年利率为4.9%，分12个月还清（月利率=年利率/12）。那么，他每月的还款额根据公式可以得到： 元PMT=4.91−(1+4.9×10000=855.62;(元)

等额本息是银行贷款、分期消费等常用的还款方式。这里要注意一些潜在的陷阱。根据上面的计算可知需要支付的本息合计大约10267元，某些不怀好意的贷款人会宣称“年息2.67%”，这是错误的。同理，分期消费平台会用“手续费”的概念，使得不清楚状况的消费者低估了实际的利率。举个例子如下：

某分期平台申请12期分期付款，并额外共收取8.80%的手续费。还款方式如下：设消费金额为x，则每期还款(1+8.8012。问实际利率是多少？

注意，为了方便那些不专业的消费者理解或者算账，这个分期平台没有使用等额本息的还款公式，这里的“手续费”和实际的利率很可能相差甚远。

要解出实际利率很简单，只要比照等额本息的计算公式和分期平台给出的公式， r1−(1+r)−12=1+8.8012. 由此解得r=1.32。因此，实际的年利率约为15.9%。

等额本金是用的较少的一种还款方式。它的计算相对简单。设贷款总额是x，则每期偿还的本金固定为xN，此外还需要偿还上一期余额产生的利息。因为余额是逐期递减的，所以每期的还款也是越来越少的。

第k期还款前，余额为N−k+1Nx，因此当期还款 PMT(k)=xN+N−k+1Nxr.

举例来说，某人申请银行贷款10000元，年利率4.9%，采用等额本金的方式，分12月还清。那么，第1期他需要还款 元PMT(1)=1000012+10000×4.912=874.17;(元). 之后每期可以比上一期少还112×10000×4.912=3.40元。到最后一期时，只需还款836.74元。

有人根据计算，认为：在期数和利率相等的情况下，使用等额本金方式还款，还款总额小于等额本息方式。所以使用前者更合算。我的结论是：第一句话有道理，而第二句话是错误的。

根据前面的分析，可知，等额本息的本息和为 A=N⋅PMT=rN1−(1+r)−Nx. 而等额本金的本息和为 B=∑i=1NPMT(i)=(1+N+12r)x.

可以证明， rN1−(1+r)−N≥1+N+12r. 因此A≥B。事实上等号只在个别极限情况取得，例如N=1或者r=0。一般来说，等额本息的本息和总是比等额本金的多。其实从直观上很容易理解，因为等额本息一开始偿还的本金少，所以计的利息就多，本息和自然就多。严格的证明见文末。

虽然两者的本息和不同，但是并不存在一种比另一种更合算的问题。实际上，本息和是一个没有意义的数字，因为它将不同时间点的金额直接求和，这就忽略了货币的时间价值。如果把等额本金的还款全部折算为现值，可以发现 PV=∑k=1NPMT(k)(1+r)k=xN∑k=1N1+(N−k+1)r(1+r)k⏟≜S.

使用错位相减法： (1)S=1+Nr1+r+1+(N−1)r(1+r)2+⋯+1+2r(1+r)N−1+1+r(1+r)N(2)(1+r)S=1+Nr+1+(N−1)r1+r+1+(N−2)r(1+r)2+⋯+1+r(1+r)N−1(2)−(1)，得 rS=1+Nr−r[11+r+1(1+r)2+⋯+1(1+r)N−1]−1+r(1+r)N=1+Nr−r1−(1+r)−N+1r−(1+r)−N+1=Nr. 由此可知S=N，因此PV=x，这和等额本息的情况是完全一样的。简单地说，无论怎样还款，银行发放给你的贷款金额一定等于你的所有还款的现值之和。

附：数学证明

求证rN1−(1+r)−N≥1+N+12r,N∈N∗,,r≥0.

证明 1

原不等式等价于 (∗)(1+N+12r)1−(1+r)−Nr≤N.

使用数学归纳法。首先验证N=1的情况：

左边右边左边=(1+r)1−(1+r)−1r=1=右边.

假设(∗)成立，现在需要验证用N+1替代N，不等式也成立。即，需要证明 (1+N+22r)1−(1+r)−N−1r≤N+1.

证明如下： 左边使用不等式伯努利不等式右边左边=(1+N+12r+12r)[1−(1+r)−Nr+(1+r)−N−1]=(1+N+12r)1−(1+r)−Nr⏟使用不等式(∗)+12[1−(1+r)−N]+(1+N+12r)(1+r)−N−1+12r(1+r)−N−1≤N+12+12[−(1+r)+2+(N+1)r+r](1+r)−N−1=N+12+121+(N+1)r⏞≤(1+r)N+1,(伯努利不等式)(1+r)N+1≤N+12+12=右边.

综上所述，(∗)对任意正整数都成立。

1. 使用数学归纳法的证明是我的同学想出来的。 ↩︎