复数和矢量运算

复数和矢量运算

Tue Dec 13, 2016

在工程领域中，复数A˙=Aeiφ被用来指代一个有效值为A，初相位为φ的正弦量ℜ[2A˙]=2Acos⁡(ωt+φ)。这样的复数常被称作相量(phasor)，通常会用更简便的Steinmetz记号Aφ表示，并且使用角度制。

平面上的矢量和复数之间有一一对应的关系。如图，Aφ对应矢量OP→，它也可以用直角坐标形式表示为x+yi。通常，把A取成非负的，称为模：r=x2+y2；把φ取在区间(−π,π]内，称为幅角：φ=atan2(y,x)。

可以用欧拉公式证明两种形式是等价的，用矢量可以形象地表示出这一关系，便于记忆。

用复数和矢量分析交流电是很方便的。例如，在三相电源中，设A相电压U˙A=2200∘V,则另外两相电压分别可以表示为 U˙B=220−120∘V,U˙C=220120∘V.

这种记法的物理意义很明显。并且用这种表示进行算术运算也具有明确的意义。例如，线电压 U˙AB=U˙A−U˙B=220330∘V. 可以直接从计算结果中读出它的幅值和相位。

上面的计算因为涉及特殊角，所以可以笔算得出结果。甚至可以画出对应矢量的图形（恰好构成等腰三角形），用图解法来做。

下面讨论一般的计算办法。

首先把U˙B=220−120∘转换成直角坐标形式。先用诱导公式把三角函数的参数化归到第一象限：sin⁡(−120∘)=−sin⁡60∘，cos⁡(−120∘)=−cos⁡60∘。查数学用表： lg⁡220=2.3424+lg⁡sin⁡60∘=1―.93752.2799=lg⁡190.5lg⁡220=2.3424+lg⁡cos⁡60∘=1―.69902.0414=lg⁡110.0

添上符号，得U˙B=−110.0−j190.5。然后就可以进行减法计算 U˙AB=220−(−110−j190.5)=330.0+j190.5.

为了求出幅值和相位，需要再转换为极坐标形式。一般地，可以归结为一个解直角三角形的问题。

设三边按从小到大的顺序分别为a,b,c，边a所对的角为α。则α=arctan⁡ab。注意我们总用小数除以大数。 lg⁡190.5=2.2799−lg⁡330.0=2.51851―.7614=lg⁡tan⁡30∘

接下来计算斜边长c=asin⁡α： lg⁡190.5=2.2799−lg⁡sin⁡30∘=1―.69902.5809=lg⁡381.0

根据复数所在的象限和计算得出的α，可以确定φ。各种情况总结在下表中。实际计算的时候，画出坐标系和复数所在的直角三角形，比较容易看出α和φ的关系。

象限象限xyφ|x|≥|y|φ|x|<|y|I++α90∘−αII−+180∘−α90∘+αIII−−−(180∘−α)−(90∘+α)IV+−−α−(90∘−α)

由上表知，计算结果位于第I象限，并且|x|≥|y|，所以φ=α=30∘。因此极坐标形式为U˙AB=381.030∘V.

矢量计算尺

用矢量型的计算尺可以代替查表的工作。将角度化归到第一象限，以及根据象限确定φ取值的步骤和前面一样，此处省略。

当r=220, φ=60∘时，计算过程如下：

1. 移动滑尺使C刻度右端线对齐D刻度2.2；
2. 将游标移至S刻度60，在D刻度读出1.905，得y=190.5；
3. 将游标移至S刻度红字60，在D刻度读出1.100，得x=110.0。

当a=330.0, b=190.5时，计算过程如下：

1. 移动滑尺使C刻度右端线对齐D刻度3.3；
2. 将游标移至D刻度1.905，在T刻度读出30，得α=30∘；
3. 移动滑尺使S刻度的30与游标对齐；
4. 将游标移至C尺右端线，在D尺读出3.807，得c=380.7。可见，有少许误差。

科学计算器

利用科学计算器上的sin、cos和tan-1功能代替查表，也可以求出待求的量，而且不论是速度还是精度都更优。sin和cos可以接受任意角，因此不需要把角度化归到第一象限。但是，tan-1给出的角度在(−π2,π2)内，因此仍然需要根据象限来确定幅角的取值。

现在市面上的科学计算器大多都含有直角坐标和极坐标转换的功能，分别是Rec(和Pol(。

Rec(r,θ)相当于计算rcos⁡θ和rsin⁡θ。结果将分别被保存到计算器的变量E和F(有些计算器可能是其他变量)中。

• Rec(50,53.1301) → 30
• E → 30
• F → 40

Pol(x,y)相当于计算x2+y2和atan2(y,x)。这时计算器会根据象限自动确定幅角的值，使用起来更加简便了。

• Pol(30,40) → 50
• E → 50
• F → 53.1301

还有一些科学计算器可以直接做复数计算，它的操作也最简单。

例如，在TI-89中，将角度模式设置为DEG，复数模式设置为POLAR，那么它可以自动地将计算结果显示成类似Aφ的格式。

• 220/(30+40i) → (4.4 ∠-53.1301)

有时候需要得到直角形式，可以用‣Rect语法来实现。

• (4.4 ∠-53.1301)⏵Rect → 2.64-3.52i