售出-购进平价理论

售出-购进平价理论（Put-Call Parity）指在无套利原则下（Non-Arbitrage），欧式看涨期权（Call Option）和欧式看跌期权（Put Option）定价之间存在的基本关系。

看涨/看跌期权

看涨期权，Call Option，也被称为买进期权，买方期权，买权，延买期权或“敲进”（Knock In），是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格购买 一定数量的标的物的权利。

看跌期权，Put Option，也被称为认沽期权、卖出期权、出售期权、卖权选择权、卖方期权、卖权、延卖期权或“敲出”（Knock Out），是指期权的购买者拥有在期权合约规定有效期内按照执行价格卖出 一定数量的标的物的权利。

举个例子，买家以20元购买了卖家的看涨期权，约定在一年后执行，执行价格为1500元，标的物是一吨铜。一年后铜的价格涨至2000元一吨，买家行使期权，以执行价格1500从卖家购买一吨铜（价值2000），获利2000-1500-20*K（K为贴现系数），卖家亏损2000-1500-20*K。如果一年后铜的价格跌至1300元一吨， 买家不行使期权，亏损20*K，卖家获利20*K。

改动一下，买家以20元购买了卖家的看跌期权，约定在一年后执行，执行价格为1500元，标的物是一吨铜。一年后铜的价格跌至1300元一吨，买家行使期权，以执行价格1500向卖家售出一吨铜（价值1300），获利1500-1300-20*K（K为贴现系数），卖家亏损1500-1300-20*K。如果一年后铜的价格涨至2000元一吨， 买家不行使期权，亏损20*K，卖家获利20*K。

推广可得，在期权行使时间看涨期权的获利/亏损可以表示为：

max⁡(0,ST−E)−qnp \max (0, S_T - E) - q^np max(0,ST​−E)−qnp

其中，STS_TST​是现价，EEE是执行价格，qqq是利率，ppp是购买权力费用，n=T−tn = T-tn=T−t是执行时间。

看跌期权的获利/亏损则为：

max⁡(0,E−ST)−qnp \max (0, E - S_T) - q^np max(0,E−ST​)−qnp

由此可见，期权买方有权利无义务，风险有限，最大损失是权利金，对于看涨期权，理论获利无上限，对于看跌期权，获利是有限的。而期权卖方有义务无权利，获利是有限的，而对于看涨期权，风险无限，对于看跌期权，风险有限。

另外，期权分为美式期权和欧式期权，区别在于美式期权可以在到期日前任何时间行使权力，而欧式期权只能在到期日行使权力。但欧式期权可以在任何时间转让期权。

售出-购进平价理论

考虑两个投资组合：

1. 买入一份欧式看涨期权，卖出一份欧式看跌期权，执行价格EEE，无股息。

2. 买入一单位标的物股权，借入Eq\frac{E}{q}qE​债券。

对于1，如果到期标的物价格下跌，不行使看涨期权，看跌期权买家行使权力，需要以执行价格E(>ST)E(>S_T)E(>ST​)买入；如果价格上涨，行使看涨期权，看跌期权买家不行使权力，以执行价格E(<ST)E(<S_T)E(<ST​)买入，两个情况结果一致，相当于支付价值ST−ES_T-EST​−E。

对于2，期权到期（TTT）时，一单位标的物股权和债券的支付价值也为ST−qEq=ST−ES_T - q\frac{E}{q} = S_T - EST​−qqE​=ST​−E。

基于无套利原则，在TTT时两个投资组合的支付价值一致，在之前的每个时间的价值也应该是一致的。所以在初始状态ttt时，有：

c−p=St−Eq c-p=S_t-\frac{E}{q} c−p=St​−qE​

其中ccc，ppp分别表示看跌/看涨期权的现价，StS_tSt​标的物的现价，EEE执行价格，qqq利率。

美式期权的提前行权

美式期权可以在到期日前任何时间行使权力。根据售出-购进平价理论有：

c=p+St−Eqn≥St−Eqn≥St−E c=p+S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-\frac{E}{q^n} \geq S_t-E c=p+St​−qnE​≥St​−qnE​≥St​−E

因为现价永远大于执行价格，所以提前行使期权不值得。美式看涨期权基本不可能提前行权。这样可以得出美式看涨期权的定价和欧式一致。

p=c−St+Eqn?E−St p=c-S_t+\frac{E}{q^n} \ ? \ E - S_t p=c−St​+qnE​ ? E−St​

大小关系未知，所以美式看跌期权有可能提前行权。