8
UyHiP 趣题：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形
source link: http://www.matrix67.com/blog/archives/6963
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.
UyHiP 趣题：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形
下面这个趣题出自 Using your Head is Permitted 谜题站 2016 年 10 月的题目：能否把一个凸四边形分成若干个凹四边形？
答案是否定的。我们给出一个非常漂亮的证明。在下面的文字中，我们用“优角”一词来表示一个大于 180 度小于 360 度的角。
假设某个凸四边形被分成了若干个凹四边形。容易看出，每个凹四边形的内角中都有且仅有一个优角（如果没有优角，它就不是凹四边形；如果有两个或更多的优角，就与四边形内角和为 360 度矛盾）。
现在，让我们把每个凹四边形的那个优角顶点涂成蓝色。容易看出，每个蓝色顶点只能成为一个凹四边形的一个优角顶点（否则汇聚于该点处的角度之和会超过 360 度）。这意味着，每个蓝色顶点都唯一地对应一个凹四边形。如果图中的蓝色顶点一共有 n 个，那么凹四边形也一共有 n 个。
我们用两种不同的方式来统计所有凹四边形的所有内角的度数之和。汇集在每个蓝色顶点的内角之和都是 360° ，汇集在原四边形四个顶点处的内角之和也是一个 360° ，所以我们已经有至少 n × 360° + 360° 了。考虑到其他没涂成蓝色的顶点处还有很多角，因此上面这个数目实际上还会更多。但是，我们一共有 n 个凹四边形，每个凹四边形的内角之和是 360° ，因此所有凹四边形的所有内角之和显然应该是 n × 360° 。这个矛盾说明，我们无法把一个凸四边形分成若干个凹四边形。
Recommend
About Joyk
Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK