【描述时序】指数平滑法

指数平滑法（Exponential Smoothing，ES）是常用的趋势预测方法。
指数平滑法是在 移动平均法 基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。

一次指数平滑法

Y^t+1=αYt+(1−α)Y^t,0<α<1Y^t+1=αYt+(1−α)Y^t,0<α<1

分析1 （推导）：
Y^t+1=Y^t+1T(Yt−Y^t)=αYt+(1−α)Y^t,0<α<1Y^t+1=Y^t+1T(Yt−Y^t)=αYt+(1−α)Y^t,0<α<1
当αα接近0时，过去的值占较大的比重
当αα接近1时，过去的值占较小的比重

分析2 ：
αα是主观定的
当序列变化平缓时，αα可以较小
当序列变化剧烈时，αα可以较大

分析3：
Yt−Y^tYt−Y^t是误差

二次指数平滑法

Brown单一参数线性指数平滑

step1 ：计算指数平滑值
S(1)t=αYt+(1−α)S(1)t−1St(1)=αYt+(1−α)St−1(1)
S(2)t=αS(1)t+(1−α)S(2)t−1St(2)=αSt(1)+(1−α)St−1(2)

step2 ：估计参数
at=2S(1)t−S(2)tat=2St(1)−St(2)
bt=α1−α[S(1)t−S(2)t]bt=α1−α[St(1)−St(2)]
step3 :进行预测
Ft+m=at+btmFt+m=at+btm
m>0m>0为预测超前期数

Holt-Winter no seasonal

与Brown单一参数线性指数平滑很相似，其思路是，不对预测值进行二次平滑，而是对原序列的趋势进行平滑

迭代：
St=αYt+(1−α)(St−1+bt−1)St=αYt+(1−α)(St−1+bt−1)
bt=β(St−St−1)+(1−β)bt−1bt=β(St−St−1)+(1−β)bt−1

初始值：
S0=Y1S0=Y1
b0=(Yn+1−x1)/nb0=(Yn+1−x1)/n

预测：
Ft+m=St+btmFt+m=St+btm

三次指数平滑法

Brown三次指数平滑

step1：计算指数平滑值
S(1)t=αYt+(1−α)S(1)t−1St(1)=αYt+(1−α)St−1(1)
S(2)t=αS(1)t+(1−α)S(2)t−1St(2)=αSt(1)+(1−α)St−1(2)
S(3)t=αS(2)t+(1−α)S(3)t−1St(3)=αSt(2)+(1−α)St−1(3)

step2：估计参数
at=3S(1)t−3S(2)t+S(3)tat=3St(1)−3St(2)+St(3)
bt=α22(1−α)2[(6−5α)S(1)t−(10−8α)S(2)t+(4−3α)S(3)t]bt=α22(1−α)2[(6−5α)St(1)−(10−8α)St(2)+(4−3α)St(3)]
ct=α2(1−α)2[S(1)t−2S(2)t+S(3)t]ct=α2(1−α)2[St(1)−2St(2)+St(3)]

step3:预测
Ft+m=at+btm+c2tm2Ft+m=at+btm+ct2m2

Holter-Winter季节乘积模型

Holter-Winter Multiplicative
Ft+m=(St+btm)It−L+mFt+m=(St+btm)It−L+m
其中，StSt是平稳性，btbt是趋势性，ItIt是季节性

St=αYtIt−L+(1−α)(St−1+bt−1),0<α<1St=αYtIt−L+(1−α)(St−1+bt−1),0<α<1
bt=γ(St−St−1)+(1−γ)bt−1,0<γ<1bt=γ(St−St−1)+(1−γ)bt−1,0<γ<1
It=βYtSt+(1−β)It−L,0<β<1It=βYtSt+(1−β)It−L,0<β<1

Holter-Winter季节加法模型

Holter-Winter additive
Ft+m=(St+btm)+It−L+mFt+m=(St+btm)+It−L+m