【Real analysis(2)】集合论与拓扑学

集合论

历史上，集合的定义曾经是这样的:
X={a∣aX={a∣a满足性质P}
这种定义下，出现了罗素悖论：
定义X={R∣RX={R∣R是一个集合，并且R∉R}R∉R}。那么X∈XX∈X这个命题是否成立呢？

为了解决这个悖论，人们提出ZF集合理论

公理化集合

(符号定义：∋∋使得)

1. ZF1(外延性)：两个集合相等意味着他们包含相同的元素
   X=Y⟺(Z∈X⟺Z∈Y)X=Y⟺(Z∈X⟺Z∈Y)
2. ZF2(空集)：没有元素的集合
   ∃∅={}∃∅={}
3. ZF3(配对)：任意给定两个集合，存在包含这些元素的集合：
   X,Y⟹∃Z={X,Y}X,Y⟹∃Z={X,Y}
4. ZF4(并集)：给定两个集合，存在一个集合，该集合包含这两个集合的所有元素 X,Y⟹∃Z∋:W∈Z⟺W∈X∨W∈YX,Y⟹∃Z∋:W∈Z⟺W∈X∨W∈Y
5. ZF5(无限性)：存在一个包含无穷多元素的集合，并且空集也是其中的一个元素，并且对于任意一个元素Y, {Y,{Y}}也是它的元素之一。
   ∃X∋:∅∈X∧(Y∈X⇒{Y,{Y}}∈X)∃X∋:∅∈X∧(Y∈X⇒{Y,{Y}}∈X)
6. ZF6(子集)：给定任意集合以及条件状态，存在一个包含所有初始集合中的元素的集合，且这个集合的表达式是正确的。
   X,P(x)⟹∃Y∋:Z∈Y⟺Z∈X∧P(Z)X,P(x)⟹∃Y∋:Z∈Y⟺Z∈X∧P(Z)
7. ZF7(替代性)：给定任意集合和标间状态，存在一个集合包含：
   X,P(x,y)⟹∃Y∋:Z∈Y⟺∃W∈X∧P(W,Z)X,P(x,y)⟹∃Y∋:Z∈Y⟺∃W∈X∧P(W,Z)
8. ZF8(幂集)：对任何集合，存在一个集合包含初始集合的所有元素作为元素的集合，换句话说，新的集合包含初始集合的所有子集，叫做幂集(power set)
   X⇒∃Y∋:Z∈Y⟺(W∈Z→W∈X)X⇒∃Y∋:Z∈Y⟺(W∈Z→W∈X)
9. ZF9(正则性)：任意非空元素包含一个元素，这个元素与初始集合中的元素不相同。
   X≠∅⇒∃Y∋:Y∈X∧¬∃W(W∈X∧W∈Y)X≠∅⇒∃Y∋:Y∈X∧¬∃W(W∈X∧W∈Y)
   这条规则把“所有集合的集合”是一个集合从理论中排除出去了。
10. ZF10(选择性公理)：对于任意集合，存在一个集合，其包初始集合中每一个非空元素作为该集合中的元素。
    X⇒∃Y∋:∀Z∈X(Z≠∅)∃W∈Y∧W∈ZX⇒∃Y∋:∀Z∈X(Z≠∅)∃W∈Y∧W∈Z

可数

可数集（Countable set），是每个元素能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。

以下是一些可数集的例子：

自然数

0，1，2，3，4，5，6，……，n，……
显然可数

非负偶数

0，2，4，6，8，10，12，……，2n，……

非负奇数

1，3，5，7，9，11，13，……，2n+1，……

整数集

0，1，-1，2，-2，3，-3，……

有理数集

0，1/1，-1/1，
2/1，-2/1，1/2，-1/2，
3/1，-3/1，3/2，-3/2，1/3，-1/3，2/3，-2/3，
4/1，-4/1，4/3，-4/3，1/4，-1/4，3/4，-3/4，
5/1，-5/1，……

正整数的所有有限子集

∅，{1}，{2}，{1,2}，{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，……

注意到任何正整数集的有限子集都有有限的最大元素，可证。

正整数序列

空序列，（1），（2），（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3），（1,3），（2,3），（3,3），（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），……（3,3,3），（4），（1,4），……，（4,4），（1,1,4），……，（4,4,4），（1,1,1,1），……，（4,4,4,4），（5），……
注意到任何正整数的有限长度序列都有有限的最大元素和有限的项数，从而可以取二者的较大值，可证。

可数集的性质

• 可数集的子集是至多可数的。
• 有限多个可数集的并集是可数的。
• 在承认可数选择公理的前提下，可数多个可数集的并集是可数的。
• 有限多个可数集的笛卡尔积是可数的。
• 对集合S，下面3种说法等价：
  1、S至多可数，即存在S到自然数集的单射；
  2、S为空集，或存在自然数集到S的满射；
  3、S为有限集或存在自然数集与S间的双射。
• 值域为可数集的单射，其定义域至多可数。
• 定义域为可数集的满射，其值域至多可数。

素数

数论里面有这么几个简单的理论：

1. 素数是无限多的，
   证明：
   （反证法）如果n1,n2,…nkn1,n2,…nk是全部素数，那么n=n1∗n2∗…∗nk+1n=n1∗n2∗…∗nk+1是合数，然而并不能被任何素数整除，因此又是素数（矛盾）
2. 算数基本定理 因子分解到素数唯一。
   具体内容：https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_arithmetic
   证明这个定理时，用到欧几里得引理，贝祖恒等式

群、域

群的定义

集合XX是运算 ⋆⋆ 下的群，表示为(X,⋆)(X,⋆),如果：

1. X在⋆⋆ 运算下是封闭的，也就是说
   ∀x,y∈X∀x,y∈X，有，x⋆y∈Xx⋆y∈X
2. 有一个单位元素e,也就是说
   ∃e∈X∃e∈X，使得∀x∈X,e⋆x=x⋆e=x∀x∈X,e⋆x=x⋆e=x
3. 有逆元素，也就是说
   ∀x≠e,∃a∈X,a⋆x=x⋆a=e∀x≠e,∃a∈X,a⋆x=x⋆a=e
4. ⋆⋆运算有结合律，也就是说
   ∀x,y,z∈X∀x,y,z∈X，有，((x⋆y)⋆z)=(x⋆(y⋆z))((x⋆y)⋆z)=(x⋆(y⋆z))

• 整数对加法(Z,+)(Z,+)是一个群，其单位元素为0。
• 整数对除法(Z,/)(Z,/)不是一个群，因为运算不封闭。

阿贝尔群（abelian group）

阿贝尔群又叫做交换群，定义如下：
如果(X,⋆)(X,⋆)是一个群，并且∀x,y∈x∀x,y∈x,都有x⋆y=y⋆xx⋆y=y⋆x，那么这个群叫做阿贝尔群

域(field)

定义：
(X,+,⋅)(X,+,⋅) 是一个域，如果满足以下条件：

1. (X,+)(X,+)是一个阿贝尔群
2. (X,⋅)(X,⋅)是一个阿贝尔群
3. ⋅⋅对+满足分配率，也就是说x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z

举例：
(Q,+,⋅)(Q,+,⋅)是一个域

实数

定义为戴德金分割
实数是不可列的，用康托尔对角线法证明
http://www.matrix67.com/blog/archives/4812

实数集开集和闭集

开球 的定义
定义R上，以x为中心，r为半径的开球为Br(x)={y∈R∣ ∣x−y∣<r}Br(x)={y∈R∣∣x−y∣<r}

命题 ：G⊂RG⊂R是开集当且仅当存在一个可数且不相交的开区间{In}{In}，使得G=⋃InG=⋃In

康托尔三分集

康托尔三分集是一种特殊的集合，有一些良好的反直观性质。
例如，

1. 它是一个可数个闭集{Fn}{Fn}的交集，
2. 因此K=⋂FnK=⋂Fn为闭集
3. 虽然是闭集，但长度为0
4. 虽然“覆盖于”整个区间，但长度为0
5. 虽然是可数个闭集的交，但本身是不可数的。

定义： 区间[0,1]上，每个连续的闭集，去掉中间三分之一的开区间无穷多次迭代，例如：
F0=[0,1]F0=[0,1]
F1=F0−(1/3,2/3)F1=F0−(1/3,2/3)
F2=F1−{(1/9,2/9)∪(7/9,9/9)}F2=F1−{(1/9,2/9)∪(7/9,9/9)}
…

性质：

1. 长度为0
   证明思路：
   先去掉1/3，然后去掉2 * 1/9，然后去掉4 * 1/27，。。。
   去掉部分长度为∑∞n=02n3n+1=1∑n=0∞2n3n+1=1,所以保留部分为0
2. 不可数
   证明思路：
   康托尔集合可以与一个三进制数对应:
   x(3)=0.a1s2s3a4...x(3)=0.a1s2s3a4...
   其中ai=0,1,2ai=0,1,2
   康托尔集移除“中间三分之一”，等价于去掉了aj=1aj=1的情况，也就是∀j,aj≠1∀j,aj≠1。
   这样，每一位就只有0或2
   把每一位除以2以后，与二进制的实数集对应。
   实数集是不可数的。

n维欧式空间上的开集和闭集

上面讨论了实数域上的开集和闭集， 这一个小标题内，把理论推广到RnRn上,
进而推广到Metric Space(度量空间)内（有关测度的基础知识，见于我的另一篇博客范数、测度和距离）
进一步推广到拓扑空间。

开球 的定义
定义RnRn上，以x为中心，r为半径的开球为Br(x)={y∈Rn∣ ∣x−y∣<r}Br(x)={y∈Rn∣∣x−y∣<r}
其中∣x∣∣x∣是范数

开集 的定义
G⊂Rn,∀x∈G,∃r>0∋Br(x)⊂GG⊂Rn,∀x∈G,∃r>0∋Br(x)⊂G,那么把G叫做开集

闭集 的定义
如果G⊂RnG⊂Rn,并且G的补集G~G~是开集，那么G是闭集。

命题1 ：

• 如果{Ga}{Ga}是任意开集的集合，Ga⊂RnGa⊂Rn,那么⋃Ga⋃Ga是开集，如果这个集合是有限的，那么⋂Ga⋂Ga是开集。
• 如果{Fa}{Fa}是任意闭集的集合，Fa⊂RnFa⊂Rn,那么⋂Fa⋂Fa是闭集，如果这个集合是有限的，那么⋃Ga⋃Ga是闭集。

也就是说，在欧式空间上，任意开集的并集是开集，有限开集的交集是开集。

命题2：
如果两个RnRn上的metric d′(),d()d′(),d()Lipschiz等价。那么如果在d′d′定义的开球下是开集，那么在dd定义的开球下也是开集。

Metric Space中的开子集和闭子集

把上面的定义推广到Metric Space：

开球 的定义：
(X,d)(X,d)是一个metric space，x∈Xx∈X,关于x的半径r的开球表示为Br(x)Br(x),定义为：
Br(x)={y∣d(x,y)<r}Br(x)={y∣d(x,y)<r}

开集 的定义:
G⊂X,∀x∈G,∃r>0∋Br(x)⊂GG⊂X,∀x∈G,∃r>0∋Br(x)⊂G,那么把G叫做开集

闭集 的定义
如果G⊂XG⊂X,并且G的补集G~G~是开集，那么G是闭集。

命题：
如果两个RnRn上的metric d′(),d()d′(),d()Lipschiz等价。那么如果在d′d′定义的开球下是开集，那么在dd定义的开球下也是开集。

聚点 (cluster point)的定义：
(X,d)(X,d)是一个metric space，E⊂XE⊂X,
x∈Xx∈X是E的一个聚点，如果∀r>0,Br(x)∩E≠∅∀r>0,Br(x)∩E≠∅

稠密 的定义：
(X,d)(X,d)是一个metric space，E⊂XE⊂X,
称E是稠密的，如果∀x∈E,x∀x∈E,x是E的聚点。

一般空间中的开子集和闭子集

子集族
开头里的公理化集合的定义中，ZF8定义了幂集的概念。X的子集族定义为X的幂集的子集。

拓扑 的定义：
给定一个非空集合X，集合X的一个子集族ττ称为X的一个拓扑，如果ττ满足：

1. ∅,X∈τ∅,X∈τ
2. {Ga}⊂τ⟹⋃Ga∈τ{Ga}⊂τ⟹⋃Ga∈τ
   也就是说，ττ中任意多个成员的并集仍然在ττ中
3. n有限，则{Gn}⊂τ⟹⋂Gn∈τ{Gn}⊂τ⟹⋂Gn∈τ
   也就是说，ττ中有限多个成员的交集仍然在ττ中

一些例子

开区间与闭区间

任意开区间的并是开区间，有限开区间的交是开区间
任意闭区间的交是闭区间，有限开区间的并是闭区间
Gn=(−1n,1+1n)Gn=(−1n,1+1n),那么⋂Gn=[0,1]⋂Gn=[0,1]是闭集
Fn=[1n,1−1n]Fn=[1n,1−1n],那么⋃Fn=(0,1)⋃Fn=(0,1)是开集