【Complex Analysis1】极限、微分、解析

收敛序列

Julia sets for quadratic polynomials Mandelbrot set

复数序列收敛的定义与数学分析中的一致：
A sequence sn of complex numbers converges to s∈C if for every ε>0 there exists N≥1 such that ∣sn−s∣<ε for all n≥N.
in this case we write limn→∞sn=s

复数序列收敛的案例和性质也与数学分析中的一致（省略）
收敛序列的加减乘除性质与数学分析中的一致（省略）

• limn→∞sn=0⟺limn→∞∣sn∣=0
• limn→∞xn+iyn=x+iy⟺limn→∞xn=x,limn→∞yn=y

极限

定义
∀ε>0,∃δ(ε)使得∀z,0<∣z−z0∣<δ，都满足∣f(z)−A∣<ε
A就是f(z)在z→z0的极限，记做limz→z0f(z)=A

TH
若limz→z0f(z)=A，那么limz→z0∣f(z)∣=∣A∣

补充定义
limz→∞f(z)=A,limz→z0f(z)=∞,limz→∞f(z)=∞
沿用原定义，并且注意取到无穷大的所有邻域，而不是沿某个方向趋近。

TH
若limz→z0f(z)=A,limz→z0g(z)=B
那么，
limz→z0[f(z)±g(z)]=A±B
limz→z0[f(z)⋅g(z)]=A⋅B
limz→z0[f(z)/g(z)]=A/B,(B≠0)

连续

limz→z0f(z)=f(z0)叫做在z0 连续
f(z)在一个区域D内处处连续，叫做在D内连续

TH
连续函数的和、差、积、商、复合都连续

微分

limz→z0f(z)−f(z0)z−z0存在，则称为 可导，记为f′(z0)

TH
[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
[f(z)⋅g(z)]′=f′(z)⋅g′(z)
[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)−f(z)g′(z)g2(z)
df(g(z))dz=f′(g(z))g′(z)

TH
前提f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0有聚点
f(z)有极限的 充分必要条件 是u,v有极限
f(z)有连续的 充分必要条件 是u,v连续
f(z)可导的 充分必要条件 是u(x,y),v(x,y)可导，并且∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x（Cauchy-Riemann Equations, also f′(z0)=fx(z0)=−ify(z0)）（两个方向的方向导数）

常见微分

f(z)=zn,f′(z)=nzn−1
…

解析

解析定义为在邻域内处处可导

1. 可导未必解析
2. 区域内可导⟺解析
3. 不存在这种情况：只在一点解析，而在其邻域内都不解析

根据上文可导的充要条件和解析的定义，解析的充要条件是：
在区域D内，u(x,y),v(x,y)可导，并且其一阶偏导数连续，并且∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x

调和函数 如果实变函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足 拉普拉斯方程 hxx(x,y)+hyy(x,y)=0
称h(x,y)是D内的 调和函数。

TH
如果f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析，那么u(x,y),v(x,y)都是 调和函数。

解析的例子

• 多项式函数一定解析
• 有理函数（两多项式函数的商）在定义域内解析
• f(z)=Rez,f(z)=Imz都处处不解析
• f(z)=∣z∣在非0处不可导，在0处可导。所以处处不解析。

解析延拓

指数函数
ex+iy=ex(cosy+isiny)
性质(z=x+iy)

• ∣ez∣=ex
• argez=y
• ez+2πi=ez
• ez+w=ezew
• dezdz=ez
• eˉz=¯ez
• ez=1⟺z=2πik 对数函数
  lnz=ln∣z∣+iargz=Ln∣z∣+iArgz+2kπ
  也可以记为:
  lnz=Ln∣z∣+iArgz
  lnz=Lnz+2kπi
  性质
• Lnzn≠nLnz
• Lnz在C∖(−∞,0]上连续，也在这个区间上解析

幂函数
za=eaLnz=ealnze2kπia

1. 当a是整数时，只有1中可能取值
2. 当a是有理数q/p时，有p种可能值
3. 当a是无理数或复数时，有无穷多个值

(2√2有1个实数值和无穷个复数值)

三角函数
eix=cosx+isinx,e−ix=cosx−isinx,可以得到
sinx=eix−e−ix2i,cosx=eix+e−ix2
性质

• cos(−z)=cosz,sin(−z)=−sinz
• cos(z+w)=coszcosw−sinzsinw,sin(z+w)=sinzcosw+coszsinw
• cos(z+2π)=cosz,sin(z+2π)=sinz
• sin2z+cos2z=1
• sin(z+π/2)=cosz
• sinz=0⟺z=kπ,cosz=0⟺z=π/2+kπ
• (sinz)′=cosz,(cosz)′=−sinz

解析函数的性质

TH1

if f is analytic on a domain D, and if f′(z)=0∀z∈D, then f is constant in D
证明过程 在这
推论, Suppose that f=u+iv is analytic in a domain D.：

• if u is constant, then f is constant
• if u is constant, then f is constant
• if ∣f∣ is constant, then f is constant
  （证明过程用到解析的充要条件）

TH2

Suppose that f:U→C is an analytic function and there exists a continuous function g:D→U from some domain D⊂C into U such that f(g(z))=z for all z∈D. Then g is analytic in D, and f′(z)=1f′(g(z)),z∈D

参考资料

coursera:Introduction to Complex Analysis
李红：《复变函数与积分变换》高等教育出版社
“十五”国家规划教材《复变函数与积分变换》高等教育出版社
钟玉泉：《复变函数论》高等教育出版社