【Real analysis(3)】Sequence in Metric Space

本文讲解的概念：
度量空间(metric space)中的序列
序列的收敛性
柯西数列
完备的度量空间
紧集

metric space中的序列

Def1：metric space中的序列
(X,d)(X,d)是metric space，如果{xn}{xn}是一个可数、无限的集合，那么称之为序列。

Def2： 序列有界
if ∃D,∃y∈X∋∀n,d(y,xn)<D∃D,∃y∈X∋∀n,d(y,xn)<D,称为有界。

Def3： 序列收敛
∀ε,∃N(ε)∋∀n>N,d(xn,x)<ε∀ε,∃N(ε)∋∀n>N,d(xn,x)<ε,
称为收敛，记为limn→∞xn=xlimn→∞xn=x

metric space中序列极限的性质

TH1： 如果两个metric是Lipschiz equvalent的，那么收敛性也等价。
如果metric spaceX上两个metric, d1,d2d1,d2李普希斯等价，{xn}⊂X{xn}⊂X. 那么序列在(X,d1)(X,d1)上收敛于x，当且仅当在(X,d2)(X,d2)上收敛于x

TH2：
if limn→∞xn=xlimn→∞xn=x and limn→∞xn=x′limn→∞xn=x′, then x=x′x=x′

TH3:
iflimn→∞xn=xlimn→∞xn=x,那么xnxn有界

TH4:
{xn}→x,{yn}→y{xn}→x,{yn}→y,

1. axn→axaxn→ax
2. xn+yn→x+yxn+yn→x+y

metric space中的柯西序列

Def：紧集
如果X的每个开覆盖都包含一个有限的子覆盖，那么称(X,d)(X,d)是紧集

有界子列可以收敛

TH1： 紧集中的序列，存在收敛子列
{xn}⊂X{xn}⊂X, X是紧集
那么存在子列{ym}⊂{xn}{ym}⊂{xn},使ym→yym→y，而且y∈Xy∈X

TH2: 欧式空间中的有界序列，存在收敛子列
{xn}⊂Rn{xn}⊂Rn,
那么存在子列{ym}⊂{xn}{ym}⊂{xn},使ym→yym→y,而且y∈Rny∈Rn

柯西序列

Def： 柯西序列
称{xn}⊂X{xn}⊂X是柯西序列，如果：
(X,d)(X,d)是metric space，∀ε>0,∃N(ε),∀m,n>N∋d(xn,xm)<ε∀ε>0,∃N(ε),∀m,n>N∋d(xn,xm)<ε

Th:如果两个metric 是 Lipschiz equvalent的，那么柯西准则也等价。
如果metric spaceX上两个metric d1,d2d1,d2李普希斯等价，{xn}⊂X{xn}⊂X. 那么序列在(X,d1)(X,d1)上是柯西序列，当且仅当在(X,d2)(X,d2)上也是柯西序列

TH1: 柯西序列有界
{xn}⊂X{xn}⊂X是一个柯西序列，那么{xn}{xn}有界

TH2：收敛序列是柯西序列
{xn}⊂X{xn}⊂X, and xn→xxn→x, then,
xnxn是柯西序列。

TH3：紧的柯西序列是收敛序列
{xn}⊂X{xn}⊂X是柯西序列，并且X是紧metric space，那么xnxn收敛

TH4：复空间中的柯西序列是收敛序列
{xn}⊂X{xn}⊂X是柯西序列，并且X=R,C,RnX=R,C,Rn,那么xnxn收敛

完备的metric space

Def：完备的metric space
(X,d)(X,d)是一个metric space，如果X内每一个柯西序列都收敛于X内的一点，那么称X在d下是完备的。

1. R,C,RnR,C,Rn在二阶范数下是完备的
2. RnRn在lplp下是完备的
3. 紧的度量空间是完备的
4. QQ在标准度量下不完备，Q∩[0,1]Q∩[0,1]不完备，任意开区间(a,b)(a,b)不完备
5. （与上一条类似）QnQn在标准度量下不完备，Qn∩BR(x)Qn∩BR(x)不完备，BR(x)BR(x)不完备