7

盘点数学里十大不需要语言的证明

 3 years ago
source link: https://www.physixfan.com/%e7%9b%98%e7%82%b9%e6%95%b0%e5%ad%a6%e9%87%8c%e5%8d%81%e5%a4%a7%e4%b8%8d%e9%9c%80%e8%a6%81%e8%af%ad%e8%a8%80%e7%9a%84%e8%af%81%e6%98%8e/
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.
neoserver,ios ssh client

作者： physixfan

0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

1. 关于反正切的恒等式

关于反正切，有如下两个很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩

2. 几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式：

√ab≤(a+b)/2
它也可以通过图形来证明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

3. Hex Numbers(中心六边形数)求和公式

由平面图形到立体图形的这步转换，实在是令人拍案叫绝！

4. 平方数的求和公式

1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/3*n(n+1/2)(n+1)

5. 立方数的求和公式

1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4*(n^2+n)^2

6. 斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和， F n+1 = F n + F n-1 。

它的通项公式是

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时 F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618。正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的

这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法

7. 定积分的分部积分法

原来分部积分法的几何意义是如此简单直观。。可是为什么当初刚学的时候没有人告诉过我呢~？

8. 最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

vfof8m.png
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
etixdx.png
它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。

9. 棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

iae7ky.jpg
答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

lri8l8.png
上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

数学里，有一种证明方法叫做Proofs without words。诚然，这种证明方法算不上严格，但是它却将数学中包含的最精巧的东西一览无余地展现了出来。本文列举了十个经典的例子。你还见过什么高明的吗，可以在回帖中写出来。如果有很漂亮的，我会在这里推荐出来。

资料来源：

《Proofs without words》

mathoverflow

《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

matrix67的《盯着结论看，直到它变得显然成立为止》

//原载于果壳网，但是在这里我又做了一些改动。

Related

代数基本定理的一个最简单证明April 27, 2011In "Interesting Maths"

哥德尔定理February 11, 2007In "Interesting Maths"

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法August 24, 2007In "Interesting Maths"


report

Recommend

About Joyk


Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK