椅子的稳定性问题
source link: https://www.physixfan.com/%e6%a4%85%e5%ad%90%e7%9a%84%e7%a8%b3%e5%ae%9a%e6%80%a7%e9%97%ae%e9%a2%98/
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.
椅子的稳定性问题
作者： physixfan
4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳？
这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过，当时觉得这问题太诡异了，怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手，看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的，一定可以找到一个位置使得椅子放稳！
题目的条件先解释一下，4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复，确实题目里有隐含条件需要明确地写出来：（1）椅子是正方形的…（2）四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长…(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳（即认为地面的摩擦系数无穷大）…（4）起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。
设这4条腿的顶点分别为ABCD。
我们知道，三个点确定一个平面，因此任何位置总有三条腿着地。先把椅子放在某处，现在将椅子的中心固定，将AC和BD这两把对腿从初始位置逆时针旋转角度θ。设AC这对腿到地面距离之和为f(θ)，记BD这对腿到地面距离之和为g(θ)，由定义可知f(θ)>=0，g(θ)>=0。又由于在任何位置至少有3条腿同时着地，故f(θ)和g(θ)之一必为0。我们需要证明的是，至少有一个θ0使得f(θ0)=g(θ0)=0。
不妨设f(0)>0，g(0)=0，定义函数h(θ)=f(θ)-g(θ)，0<=θ<=π/2。h(θ)是θ的连续函数，且h(0)>0。显然，当θ=π/2时，AC和BD这两对腿恰好互换了位置，因此必有g(π/2)>0，f(π/2)=0，因此有h(π/2)<0。
由连续函数介值定理可知，必有0到π/2之间的一个θ0使得h(π/2)=0。此时必有f(θ0)=g(θ0)=0，这时椅子能够放稳。
没有想到这个问题居然可以用看似没什么用的连续函数介值定理来证明，实在是高明～！
题目来源：周义仓、赫孝良 编著《数学建模实验》
Related
物理学中十大牛逼的思想实验November 27, 2012In "Magical Physics"
高中物理竞赛生涯September 23, 2008In "My Life"
什么是直线？March 30, 2011In "Interesting Maths"
Recommend
About Joyk
Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK