ZKP 系列之 Groth16 证明延展性攻击原理及实现

By: 大酱

前言

之前的文章我们盘点了 ZKP 主流实现方案技术特点，我们提到了一些 ZKP 算法存在延展性风险，本篇我们继续从实战角度为大家展示它的攻击原理及防御方法。

漏洞简介

ZKP 的延展性攻击，是指给定敌手一个合法证明，敌手在不知道见证的条件下自己生成新的合法证明。

并不是所有的证明系统都存在延展性攻击风险，实际上这个问题目前主要存在于 Groth16 证明系统中。那么问题来了，目前已经有那么多的证明系统，为什么还要坚持使用 Groth16 呢？其实也没得选择，Groth16 生成的证明体积实在是小到极致，验证也极其之快，在计算代价十分昂贵的区块链上，使用 Groth16 似乎是最理想的选择。

延展性风险会带来哪些风险呢？我们可以想象一下如果有这么一个存款系统，它使用用户提交的 ZKP 证明来验证其身份，验证成功则可以提款。由于这个系统的验证过程是公开的，任何人都可以获取到这个证明，如果我们是用证明值本身做为取款登记，如果这个证明被获取到并进行变换，那就可被利用来多次提款。漏洞的利用需要看具体的场景，但我们可以看到延展性首先会带来双花的风险。

数学原理

理解攻击原理我们首先需要从理解算法开始，这需要有一定的密码学基础，感兴趣的同学可以自行寻找 Groth16 算法资料。这里我们直击漏洞根源：验证函数。

我们来看一下这个验证函数公式：

如果没有对这些字母一一从头介绍，我想很难看懂它在表达什么，但我觉得过多的介绍是不需要了，记好公式左边的 “A 乘 B” 就这么简单，然后我们开始施展数学魔法。咒语如下：

根据群的结合律，那么上面公式中：

这只是其中一种比较简单的构造方法，另外还有一种构造方法 [1]，这里不做阐述，因为我们已经得到想要的东西了。

工程实现

有了上面的公式，就可以在工程上实现 Groth16 证明的延展。选择一个要伪造证明的对象，获取它的 proof，例如：

{ pi_a: [ '17566212007750634279332191898019870443899908963707812937725971557556988121113', '13653824972036797689593667463260040326059024360787769597142078414930263663703', '1' ], pi_b: [ [ '14906111038352923510344648516413952434168552622848767570599399834157918236589', '15289017543994496306320102143103349779456992442925111629326024552687168229256' ], [ '18841235948006283310515755114762069779103481848435391875780416574913227842443', '6835281862874020275059416795628130939104366467185014410026268177455413514889' ], [ '1', '0' ] ], pi_c: [ '21641806348662631815866837255154640732047306895903168385641666607914783128458', '2082587994352117459125871298218148663854896572836176277773049196516560449682', '1' ], protocol: 'groth16', curve: 'bn128'}

我们看这样的一个 proof，pi_a, pi_b, pi_c 就是上面公式里描述的 A, B, C，这个证明使用的是 BN128 曲线，然后我们需要去寻找支持 BN128 曲线开发库。这里我们选择 ffjavascript，它是一个基于 Javascript 的有限域库，支持 BN128, BLS12381 曲线。

首先，我们任意构造一个域上的元素及它的逆元：

const X = F.e("123456");const invX = F.inv(X);

然后，分别相乘，核心代码如下：

const A = curve.G1.fromObject(proof.pi_a);const B = curve.G2.fromObect(proof.pi_b);new_pi_a = curve.G1.timesScalar(A, X); //A'=x*Anew_pi_b = curve.G2.timesScalar(B, invX); //B'=x^{-1}*B

最后，用 new_pi_a, new_pi_b 去替换原 proof，得到新的 proof：

{ pi_a: [ '6515337738552169645617263495374285821912767490069335826295120714428977813009', '10671874016637483602721966808912960491553808325993800847672325376634242358838', '1' ], pi_b: [ [ '20523135654483520737281403147507843211011765855706506084021355785019229409285', '4032527486736971273144842057682931136787425732029780739716144011227563817375' ], [ '9389285843105460816015935120908213706233585149018458753845466963847282799614', '7207137211649923819130654483456848273137049778520784010268635580504303221849' ], [ '1', '0' ] ], pi_c: [ '21641806348662631815866837255154640732047306895903168385641666607914783128458', '2082587994352117459125871298218148663854896572836176277773049196516560449682', '1' ], protocol: 'groth16', curve: 'bn128'}

至此，我们已经成功构造出了新的证明，把 proof 放到验证函数中去验证可以发现它能通过验证。

防范

如何防范 Groth16 延展性攻击呢？可以参考这四种方法：

对 proof 进行签名，验证者在验证 proof 同时也验证签名是否正确；

参考 TornadoCash 在电路的公开输入中增加 nullifier 值，nullifier 确保证明对应的公开输入只能被使用一次；

在电路中将证明者的身份信息（如以太坊的 msg.sender ）加入到公开输入中，然后验证者就可以对提交证明的人进行身份验证；

使用其它的证明系统，参考我们之前的文章。

总结

Groth16 存在延展性攻击风险，可通过简单的计算伪造出新的证明，实际运用中需要注意防止出现双花攻击。

参考链接：

[1]. https://medium.com/ppio/how-to-generate-a-groth16-proof-for-forgery-9f857b0dcafd

往期 ZKP 系列：

慢雾：盘点 ZKP 主流实现方案技术特点

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