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Abstract: 本文介绍期望的条件版本，也就是条件期望
Keywords: Expectation，Prediction，Law of Total Probability

说到条件，我们前面反复说，所有概率都是条件的，随机变量也是，那么这几天我们学到的各种数字特征就应该也有条件版本，而我们学的这几个数组特征都是建立在期望的基础上，所以我们只要研究了条件期望，其他各特征的条件版本就是在此基础上的函数版本。
本文还有一个重要的部分就是prediction——预测，机器学习的除了发现事物本身内在的原理，另一个目的就是预测，而我们要预测的这个变量可能我们并不知其分布性质，而是知道另一个跟他有关系的随机变量的分布，那么我们就要用到全概率法则的条件版本了，具体我们来详细说清楚

条件期望的定义和基本性质 Definition and Basic Properties

在我们举个例子之前我们回忆一下，我们整章都在说的期望，一个随机变量的期望取决于分布，而且我们提到过，不同的随机变量有同样的分布的时候，期望是一样的，那么我们可以进一步说每个分布对应唯一的期望，但是我们知道分布是有条件版本的，所以对应的期望就是条件分布的期望，而期望这个数值在预测过程中满足最小M.S.E. 的要求，所以某些时候用条件期望来预测某个值的出现是合理的。

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举个例子：
首先统计了某一个片区所有人家的家庭成员和手机持有数量，然后得到了下面这个表：

那么当我们随机选取这个调查中的某一家人，其中有n个家庭成员，那么他们的手机持有量是多少呢？

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这个问题就是一个典型的预测问题。

Definition Conditional Expectation/Mean.Let X X X and Y Y Y be random variables such that the mean of Y Y Y exists and is finite.The conditional expectation(or conditional mean) of Y Y Y given X = x X=x X=x is denoted by E ( Y ∣ x ) E(Y|x) E(Y∣x) and is defined to be the expectation of the conditional distribution of Y Y Y given X = x X=x X=x .

这个定义就是条件期望或者条件均值的定义了，如果 Y Y Y 存在并且有限，条件 X = x X=x X=x 条件期望 E ( Y ∣ x ) E(Y|x) E(Y∣x)

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举个例子
如果Y是一个连续随机变量，给定条件 X = x X=x X=x 其条件p.d.f. g 2 ( y ∣ x ) g_2(y|x) g2​(y∣x) 那么他的条件期望：
E ( Y ∣ x ) = ∫ − ∞ ∞ y g 2 ( y ∣ x ) d y ............(1) E(Y|x)=\int^{\infty}_{-\infty}yg_2(y|x)dy\text{............(1)} E(Y∣x)=∫−∞∞​yg2​(y∣x)dy............(1)
同理如果Y是一个离散随机变量，给定条件 X = x X=x X=x 其条件p.d.f. 那么
g 2 ( y ∣ x ) = ∑  All  y y g 2 ( y ∣ x ) ..................(2) g_2(y|x)=\sum_{\text{ All }y}yg_2(y|x)\text{..................(2)} g2​(y∣x)= All y∑​yg2​(y∣x)..................(2)

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当然上面这个定义对条件有一定要求，因为条件 X也是随机变量，所以其取值也有范围，比如有些情况下 f 1 ( x ) = 0 f_1(x)=0 f1​(x)=0 这种情况就很尴尬了，不过也没关系，因为条件发生的概率都是0了，那么在此条件下再发生别的更是不可能，所以这种情况变得无关紧要；另一种尴尬就是 f 1 ( x ) ≠ 0 f_1(x)\neq 0 f1​(x)​=0 也就是条件是某个正常的值了，但是这时候Y可能不存在期望，或者期望是无穷的情况，这时条件期望未定义；

Definition Conditional Means as Random Variables.Let h ( x ) h(x) h(x) stand for the function of x x x that is denoted E ( Y ∣ x ) E(Y|x) E(Y∣x) in either (1) or (2).Define the symble E ( Y ∣ X ) E(Y|X) E(Y∣X) to mean h ( X ) h(X) h(X) and call it the conditional mean of Y Y Y given X X X

想一下，我们前面给出了条件的具体取值，比如当给定 X = x 0 X=x_0 X=x0​ 的条件下， Y Y Y 的期望是什么。如果我们不给定条件特定的值，那么条件变成一个变量，从微积分的角度来看求条件期望的公式如下
E ( Y ∣ X = x ) = ∫ − ∞ ∞ Y f 1 ( Y ∣ X = x ) d y E(Y|X=x)=\int^{\infty}_{-\infty}Yf_1(Y|X=x)dy E(Y∣X=x)=∫−∞∞​Yf1​(Y∣X=x)dy
如果 X X X 也是变量那么这个两个变量的单积分表达式的结果就是个 X X X 的函数.

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一个🌰 ：
临床试验，一定数量的患者接受治疗，只有治愈和未治愈两种结果，假设 P P P 是大量试验的一个结果统计的成功比例，设 X i = 0 X_i=0 Xi​=0 为失败（未治愈） X i = 1 X_i=1 Xi​=1 为治愈，并假设 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\dots,X_n X1​,X2​,…,Xn​ 之间在条件 P = p P=p P=p 之下独立，并有 P r ( X i = 1 ∣ P = p ) = p Pr(X_i=1|P=p)=p Pr(Xi​=1∣P=p)=p ,我们现在来计算X的条件P下的期望，因为 X X X 是参数为 p ， n p，n p，n 的二项分布，所以 E ( X ∣ p ) = n p E(X|p)=np E(X∣p)=np 以及 E ( X ∣ P ) = n P E(X|P)=nP E(X∣P)=nP 后面我们会计算当我们已知X时如何求 P P P ，这就是预测问题了

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注意，当给定条件 X X X 时的条件期望 E ( Y ∣ X ) E(Y|X) E(Y∣X) 是一个随机变量，有自己的分布;给定条件 X = x X=x X=x 时，条件概率 h ( x ) = E ( Y ∣ x ) h(x)=E(Y|x) h(x)=E(Y∣x) 是一函数，这个函数与其他普通函数一样使用；
他们的联系是 X X X 有一定个概率等于 x x x 这时候， E ( Y ∣ X = x ) = h ( x ) E(Y|X=x)=h(x) E(Y∣X=x)=h(x) 按照函数 h h h 来完成计算。

接着我们提出条件版的全概率公式：

Theorem Law of Total Probability for Expectation.Let X X X and Y be random variables such that Y has finite mean.Then
E [ E ( Y ∣ X ) ] = E ( Y ) E[E(Y|X)]=E(Y) E[E(Y∣X)]=E(Y)

证明:
假设X和Y是连续的随机变量并有一个连续的联合分布
E [ E ( Y ∣ X ) ] = ∫ − ∞ ∞ E ( Y ∣ x ) f 1 ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ y g 2 ( y ∣ x ) f 1 ( x ) d y d x E[E(Y∣X)]​=∫−∞∞​E(Y∣x)f1​(x)dx=∫−∞∞​∫−∞∞​yg2​(y∣x)f1​(x)dydx​
又因为 g 2 ( y ∣ x ) = f ( x , y ) / f 1 ( x ) g_2(y|x)=f(x,y)/f_1(x) g2​(y∣x)=f(x,y)/f1​(x) 那么就有：
E [ E ( Y ∣ X ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ y f ( x , y ) d y d x = E ( Y ) E[E(Y|X)]=\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}yf(x,y)dydx=E(Y) E[E(Y∣X)]=∫−∞∞​∫−∞∞​yf(x,y)dydx=E(Y)
证毕

证明第一步用到了函数的期望，谁是函数？我上面说啦， h ( x ) = E ( Y ∣ x ) h(x)=E(Y|x) h(x)=E(Y∣x) 可以当做函数使用，然后又用到了条件概率分布和边缘分布的关系，最后得到预料之内的结论。

接下来这个定理反应的是当给定条件 X = x X=x X=x 下的概率，和把 X X X 当做已知常数 x x x 是一致的.

Let X X X and Y Y Y be random variables,and let Z = r ( X , Y ) Z=r(X,Y) Z=r(X,Y) for some function r.The conditional distribution of Z Z Z given X = x X=x X=x is the same as the conditional distribution of r ( x , Y ) r(x,Y) r(x,Y) given X = x X=x X=x

证明：
当X和Y有一个连续的联合分布：
E ( Z ∣ x ) = E ( r ( x , Y ) ∣ x ) = ∫ − ∞ ∞ r ( x , y ) g 2 ( y ∣ x ) d y E(Z|x)=E(r(x,Y)|x)=\int^{\infty}_{-\infty}r(x,y)g_2(y|x)dy E(Z∣x)=E(r(x,Y)∣x)=∫−∞∞​r(x,y)g2​(y∣x)dy
根据前面关于期望的全概率法则，我们有：
E { E [ r ( X , Y ) ∣ X ] } = E [ r ( X , Y ) ] E\{E[r(X,Y)|X]\}=E[r(X,Y)] E{E[r(X,Y)∣X]}=E[r(X,Y)]
证毕

上面这个定理是说当某个随机变量 Z Z Z 是另外两个随机变量 X , Y X,Y X,Y 的某个函数 r r r 结果，那么当其中一个随机变量 X X X 或者 Y Y Y 被给定为条件的时候 E ( Z ∣ X = x ) = E [ r ( x , Y ) ∣ X = x ] E(Z|X=x)=E[r(x,Y)|X=x] E(Z∣X=x)=E[r(x,Y)∣X=x]

作为期望的第一步扩展，我们这里给出条件方差的定义，当然也有条件距，条件偏度，条件m.g.f，多变量的条件协方差等，篇幅时间都有限，不可能都一一练习，大家要多看例子，不然后面数理统计容易懵逼

Defintion Conditional Variance.For every given value x x x ,let V a r ( Y ∣ x ) Var(Y|x) Var(Y∣x) denote the variance ofthe conditional distribution of Y Y Y given X = x X=x X=x .That is
V a r ( Y ∣ x ) = E { [ Y − E ( Y ∣ x ) ] 2 ∣ x } Var(Y|x)=E\{[Y-E(Y|x)]^2|x\} Var(Y∣x)=E{[Y−E(Y∣x)]2∣x}

这就是我们说当给定 X = x X=x X=x 时 Y Y Y 的条件期望是 V a r ( Y ∣ x ) Var(Y|x) Var(Y∣x)

条件期望用来预测 Prediction

上面我们临床试验的例子描述了一种场景，并说如果在一个随机样本空间 n n n （足够大） 中有 X X X 个成功治愈的样例，那么我们怎么估计 P P P 这就是一个非常接近数理统计的例子，或者说这就是一个统计了题目。

Theorem The prediction d ( X ) d(X) d(X) that minimizes E { [ Y − d ( X ) ] 2 } E\{[Y-d(X)]^2\} E{[Y−d(X)]2} is d ( X ) = E ( Y ∣ X ) d(X)=E(Y|X) d(X)=E(Y∣X)

证明过程略复杂，当时我们还是详细的写一下，毕竟后面统计要用到。在证明之前我们先仔细看看这个定理说的到底是个什么事，我们想要预测某个随机变量 X X X 的某个函数( d d d )的结果，误差函数被定义为 [ Y − d ( X ) ] 2 [Y-d(X)]^2 [Y−d(X)]2 其结果是 d ( X ) = E ( Y ∣ X ) d(X)=E(Y|X) d(X)=E(Y∣X)
误差函数或者损失函数是机器学习里的名词，这里指的就是类似于前面 M.S.E. 和M.A.E. 的一个指标，最小化时有最优结果。
证明：
我们证明X有一个连续分布，离散分布与连续情况基本一致。

1. 令 d ( X ) = E ( Y ∣ X ) d(X)=E(Y|X) d(X)=E(Y∣X) , d ′ ( X ) d'(X) d′(X) 是一个任意的预测结果，我们只需要证明 E { [ Y − d ( X ) ] 2 } ≤ E { [ Y − d ′ ( X ) ] 2 } E\{[Y-d(X)]^2\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2\} E{[Y−d(X)]2}≤E{[Y−d′(X)]2} 成立
2. 根据 E { E [ r ( X , Y ) ∣ X ] } = E [ r ( X , Y ) ] E\{E[r(X,Y)|X]\}=E[r(X,Y)] E{E[r(X,Y)∣X]}=E[r(X,Y)] 有 Z ′ = [ Y − d ′ ( X ) ] 2 Z'=[Y-d'(X)]^2 Z′=[Y−d′(X)]2 并且 h ′ ( x ) = E ( Z ′ ∣ x ) h'(x)=E(Z'|x) h′(x)=E(Z′∣x) 可以把1中的不等式转化成连续函数的期望的形式
   ∫ h ( x ) f 1 ( x ) d x ≤ ∫ h ′ ( x ) f 1 ( x ) d x \int h(x)f_1(x)dx\leq \int h'(x)f_1(x)dx ∫h(x)f1​(x)dx≤∫h′(x)f1​(x)dx
3. 所以我们就把上面要证明的目标转换成了证明 h ( x ) ≤ h ′ ( x ) h(x)\leq h'(x) h(x)≤h′(x)
4. 那么我们如果证明了 E { [ Y − d ( X ) ] 2 ∣ x } ≤ E { [ Y − d ′ ( X ) ] 2 ∣ x } E\{[Y-d(X)]^2|x\}\leq E\{[Y-d'(X)]^2|x\} E{[Y−d(X)]2∣x}≤E{[Y−d′(X)]2∣x} 就相当于证明了3
5. 假定4中的 x x x 为常数，根据MSE很容易证明结论

这个证明有点粗糙，但是大概框架给出了，大家需要查阅这两天的博客就能得出完成的证明过程了。

M.S.E. 还和 V a r Var Var 有关系：当我们预测在给定条件 X = x X=x X=x 的条件下预测 Y Y Y 为 E ( Y ∣ x ) E(Y|x) E(Y∣x) 时其M.S.E就是 V a r ( Y ∣ x ) Var(Y|x) Var(Y∣x) 如果在 X X X 未知的情况下最佳预测就是 E [ Y ] E[Y] E[Y]

Theorem Law of Total Probability for Variance.If X X X and Y Y Y are arbitrary random variables for which the necessary expectations and variances exist,then V a r ( X ) = E [ V a r ( Y ∣ X ) ] + V a r [ E ( Y ∣ X ) ] Var(X)=E[Var(Y|X)]+Var[E(Y|X)] Var(X)=E[Var(Y∣X)]+Var[E(Y∣X)]

本文我们介绍了条件版本的期望，然后扩展到了条件版本的方差，以及预测的相关知识。下一篇开始介绍各种各样的分布。
待续