公式墙(1)——Laplace Transform(拉普拉斯变换)

致敬Laplace！

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前两天在外没有书，正巧要用一些拉普拉斯变换的知识点，知乎很多大佬关于拉氏变换写的非常详细，可以说非常完美，但我找公式也确实找了很久，于是我就决定，自己写一篇关于LT的文章，准备略写一些理解，主要以公式为主，而且以后我写文章可能比较倾向于这种了，因为那些逻辑清晰的文章我也不会写(悲)，毕竟我写文章有一部分初衷也是方便大家拿来用，所以说决定做一个长期系列——“公式墙”系列文章。

如果要谈这篇文章的话，可能有朋友要问，为什么不讲FT再讲LT呢？我一开始也决定先写一下傅氏变换再写拉氏变换，但一方面时间少，写不完，另一方面，看了就知道了......所以就跳过FT吧/逃

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※目录
Part 1 . Laplace变换概念
Part 2 . Laplace变换相关公式
Part 3 . Laplace变换公式部分推导
Part 4 . Laplace变换公式应用

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·Part 1 . Laplace变换概念

话不多说，上定义式！

\color{red} {\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_0^{\infty}{f\left( t \right) e^{-st}dt}}
其中， \mathscr{L} 是Laplace变换算子， \mathbb{L} 或者 L 都可以，（知乎只支持这个，其实这个在latex语言中不算拉普拉斯算子)
s=\sigma+\omega i ，且 \sigma,\omega 为实数， i 是虚数单位，即 \sqrt{-1}

顺便把傅里叶变换搬出来

\color{blue}{ \mathscr{F}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-2\pi \omega it}\text{d}t} } (不同文献表示方法不同)

然后会发现，不看上下限的话(可以参考双边Laplace变换)，其实总的来说，拉氏变换就是多一个 e^{-\sigma } (称之为衰减因子)，因此，某些时候，拉氏变换适用的，傅氏变换也适用。

另外，为了方便叙述， \omega 称之为频域， t 称之为时域， \sigma 是衰减因子的指数
F(s)=\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] 其中，F(s) 叫做 f(t)的像函数， f(t) 叫做 F(s) 的原函数

此外还有一个叫做“拉普拉斯逆变换”

\color{red}{\displaystyle f(t)={\mathscr {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,\mathrm {d} s}
其中 {\displaystyle \gamma } 是一个使 {\displaystyle F(s)} 的积分路径在收敛域内的实数

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·Part 2 . Laplace变换相关公式

同理，话不多说，直接上公式/笑

\color{red}{大前提：Laplace变换存在定理}

对于函数 f(t) 满足下面两个条件：
\color{blue}{1 . } 在 t\geq0 的任何有限区间上分段连续；
\color{blue}{2 . }在 t→+\infty 时，存在常数 k>0 和 c 使得
\\|f(t)|\leq ke^{ct}

所谓存在，也就是 \mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] 在 Re s>c 一定存在且解析

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\color{red}{1} . 线性叠加性

\color{gold}{(2.1.1)}
\color{green} {\mathscr{L}\left[ af\left( t \right) +bg\left( t \right) \right] =a\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] +b\mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right] }
直接由积分算子的线性性质得到，证明略

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\color{red}{2} . 微分性质

\color{gold}{(2.2.1)}
\color{green}{ \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =s^n\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] -s^{n-1}f\left( 0 \right) -s^{n-2}f'\left( 0 \right) -...-f^{\left( n-1 \right)}\left( 0 \right) }

证明附后

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\color{red}{3} . 积分性质

\color{gold}{(2.3.1)}
\color{green} {\mathscr{L}\left[ \underbrace{\int_0^t{dt}\int_0^t{dt}...\int_0^t}_\text{n重} f\left( t \right) dt \right] =\frac{1}{s^n}\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] }

证明附后

照此易得
\color{gold}{(2.3.2)}
\color{green}{ \int_s^{\infty}{\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right]}ds=\mathscr{L}\left[ \frac{f\left( t \right)}{t} \right] }
易证，留做习题

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\color{red}{4} . 平移延迟

\color{gold}{(2.4.1)}
\color{green} {\mathscr{L}[{\displaystyle f(t-\tau)u(t-\tau)\ }]={\displaystyle e^{-\tau s}F(s)\}}}
(ps:其中, u(t) 为阶跃函数，在信号与系统中常常为 u\left( t \right) =\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{c} 1,t>0\\ \frac{1}{2},t=0\\ \end{array}\\ -1,t<0\\ \end{array} \right. 经常亦写作 \varepsilon(t) 或 \delta(t) 之类)
证明附后

\color{gold}{(2.4.2)}
\color{green}{ \mathscr{L}\left[ e^{at}f\left( t \right) \right] =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] }
算作推论，证明从略

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\color{red}{5} . 卷积定理

卷积定义: \color{purple}{f(t)*g(t)= \int_{-\infty}^{\infty}{f}\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau} ， 当 t<0 时 f(t)=g(t)=0 (其实这种情况很常见)，则显然 {f(t)*g(t)= \int_{-\infty}^{\infty}{f}\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau} ={f(t)*g(t)= \int_{0}^{\infty}{f}\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau} ={f(t)*g(t)= \int_{0}^{t}{f}\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau}

\color{gold}{(2.4.2)}卷积定理
\color{green}{{ \mathscr{L}\left[ f\left( t \right) *g\left( t \right) \right] =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \cdot \mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right] }}
证明附后

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Part 3 . Laplace变换公式部分推导

为了一定的严谨性，这里规定以下所有函数均存在拉普拉斯变换
上面公式确实没用想象的那么多，因为我对物理方面的运用知之甚少，只能玩玩数学上的运用，包括Part 4 要讲的东西也都会是数学运用，至于物理学运用可以去看《信号与系统》

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\color{blue}{\star微分公式推导}
{ \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =s^n\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] -s^{n-1}f\left( 0 \right) -s^{n-2}f'\left( 0 \right) -...-f^{\left( n-1 \right)}\left( 0 \right) }

pf：我们用定义式展开，得到 I = \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =\int_0^{\infty}{f^{\left( n \right)}\left( t \right) e^{-st}dt} ，
然后分部积分，
得到 I=\int_0^{\infty}{e^{-st}df^{\left( n-1 \right)}\left( t \right)}=e^{-st}f^{\left( n-1 \right)}\left( t \right) \mid_{0}^{\infty} +s\int_0^{\infty}{f^{\left( n-1 \right)}e^{-st}dt} ，
由于存在性原理，显然可得 \underset{t→\infty}{\lim}e^{-st}f^{\left( n-1 \right)}\left( t \right) =0
因此 \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =-f\left( 0 \right) +s\mathscr{L}\left[ f^{\left( n-1 \right)}\left( t \right) \right]
往死里迭代，即可得到
\color{red}{\boxed{{ \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =s^n\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] -s^{n-1}f\left( 0 \right) -s^{n-2}f'\left( 0 \right) -...-f^{\left( n-1 \right)}\left( 0 \right) }}}\\
证毕

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\color{blue}{\star积分公式推导}
{\mathscr{L}\left[ \underbrace{\int_0^t{dt}\int_0^t{dt}...\int_0^t}_\text{n重} f\left( t \right) dt \right] =\frac{1}{s^n}\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] }

pf：我们利用上面结论 \mathscr{L}\left[ f^{\left( n \right)}\left( t \right) \right] =s\mathscr{L}\left[ f^{\left( n-1 \right)}\left( t \right) \right] -f\left( 0 \right)
做换元， g\left( t \right) =\int_0^t{f\left( t \right) dt} ,显然, g\left( 0 \right) =0 , g'\left( t \right) =f\left( t \right)
套进得到 {\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] } = {s^n\mathscr{L}\left[ \underbrace{\int_0^t{dt}\int_0^t{dt}...\int_0^t}_\text{n重} f\left( t \right) dt \right] }
即
\color{red}{\boxed{{\mathscr{L}\left[ \underbrace{\int_0^t{dt}\int_0^t{dt}...\int_0^t}_\text{n重} f\left( t \right) dt \right] =\frac{1}{s^n}\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] }}}

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\color{blue}{\star延迟公式推导}
{\mathscr{L}[{\displaystyle f(t-\tau)u(t-\tau)\ }]={\displaystyle e^{-\tau s}F(s)\ }}

pf：直接Laplace得到 \mathscr{L}\left[ f\left( t-\tau \right) u\left( t-\tau \right) \right] =\int_0^{\infty}{f\left( t-\tau \right) u\left( t-\tau \right) e^{-st}dt}
做换元 t→t'+\tau ，立刻证到： \mathscr{L}\left[ f\left( t-\tau \right) u\left( t-\tau \right) \right] =\int_0^{\infty}{f\left( t' \right) e^{-s\left( t'+\tau \right)}dt'}=e^{-s\tau}\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right]
抄下来
\color{red}{\boxed{\mathscr{L}[{\displaystyle f(t-\tau)u(t-\tau)\ }]={\displaystyle e^{-\tau s}F(s)\ }}}

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\color{blue}{\star卷积定理推导}
{ \mathscr{L}\left[ f\left( t \right) *g\left( t \right) \right] =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \cdot \mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right] }

套入卷积定义式 J =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) *g\left( t \right) \right] =\int_0^{\infty}{e^{-st}dt\int_0^t{f\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau}}
显然要用换元 t'+\tau=t ，立马 J=\int_0^{\infty}{f\left( \tau \right) d\tau}\int_0^{\infty}{g\left( t' \right)}e^{-st'-st}dt'=\mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right] \int_0^{\infty}{f\left( \tau \right) e^{-s\tau}d\tau =}\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \cdot \mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right]
抄下来
\color{red}{\boxed{{ \mathscr{L}\left[ f\left( t \right) *g\left( t \right) \right] =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \cdot \mathscr{L}\left[ g\left( t \right) \right] }}}

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Part 4 . Laplace变换公式应用

以上内容就是一些公式，下面我们举几个常见例子练练手

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先来几个常用的拉普拉斯变换吧

\mathscr{L}\left[ 1 \right] =\frac{1}{s}
\mathscr{L}\left[ e^{at} \right] =\frac{1}{s-a}
\mathscr{L}\left[ t^ne^{at} \right] =\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\left( s-a \right) ^{n+1}}\left\{ n>-1 \right\}
\mathscr{L}\left[ t^n \right] =\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{s^{n+1}}\left\{ n>-1 \right\}
\mathscr{L}\left[ \sin at \right] =\frac{a}{s^2+a^2}
\mathscr{L}\left[ \cos at \right] =\frac{s}{s^2+a^2}
\mathscr{L}\left[ \sin\text{h}at \right] =\frac{a}{s^2-a^2}
\mathscr{L}\left[ \cos\text{h}at \right] =\frac{s}{s^2-a^2}
\mathscr{L}\left[ t\sin at \right] =\frac{2as}{\left( s^2+a^2 \right) ^2}
\mathscr{L}\left[ t\cos at \right] =\frac{s^2-a^2}{\left( s^2+a^2 \right) ^2}
\star\color{red}{这是最最最常见的几个，一定要记住}

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计算Dirichlet积分
I= \int_0^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}\\
sol——
先 let f(t)=\sin (t)
利用 (2.3.2) 公式，得到
\int_s^{\infty}{\mathscr{L}\left[ \sin t \right] ds}=\mathscr{L}\left[ \frac{\sin t}{t} \right] =\int_0^{\infty}{\frac{\sin x}{x}e^{-sx}dx}\\
然后等式左边
\int_s^{\infty}{\mathscr{L}\left[ \sin t \right] ds}=\int_s^{\infty}{\frac{1}{1+s^2}ds}=\frac{\pi}{2}-\arctan s \\
得到
\int_0^{\infty}{\frac{\sin x}{x}e^{-sx}dx}=\frac{\pi}{2}-\arctan s\\
令 s=0 ，
\color{red}{I= \int_0^{\infty}{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi}{2}\\}

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计算Laplace积分
J=\int_0^{\infty}{\frac{\cos bx}{a^2+x^2}dx}\\
sol——
注意到 \mathscr{L}^{-1}\mathscr{L}\left[ J \right] =J ， 我们不对x变换，对 b ！
\mathscr{L} _b\left[ J \right] =\int_0^{\infty}{\int_0^{\infty}{\frac{\cos bx}{a^2+x^2}dx}e^{-sb}db}=\int_0^{\infty}{e^{-sb}\cos bxdb}\int_0^{\infty}{\frac{1}{a^2+x^2}dx} \\
直接求
\int_0^{\infty}{e^{-sb}\cos bxdb}=\frac{1}{s^2+x^2}\left| \begin{matrix} e^{-sb}& \cos bx\\ -se^{-sb}& -x\sin bx\\ \end{matrix} \right|\mid_{0}^{\infty}=\frac{s}{s^2+x^2} \\
(看不懂第一个等号后面的点我)
于是
\boxed{ \mathscr{L}_b\left[ J \right] =\int_0^{\infty}{\frac{s}{s^2+x^2}\frac{1}{a^2+x^2}dx}}\\
这个积分挺有趣的，我一开始以为不能求不定积分，就用了复变大法
M = \int_0^{\infty}{\frac{s}{s^2+x^2}\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\pi i\left[ \frac{s}{2si}\frac{1}{a^2-s^2}+\frac{1}{2ai}\frac{s}{s^2-a^2} \right] =\color{red}{\frac{\pi}{2a}\frac{1}{a+s}} \\
想来想去，与其这样不如：
J=\int_0^{\infty}{\frac{\cos bx}{a^2+x^2}dx} =\pi i\cdot \frac{e^{ib\left( ai \right)}}{2ai}= \color{red}{\frac{\pi}{2a}e^{-ab}} \\
那拉普拉斯变换不就多余了吗！
早上上学跑操的时候灵光一现(以后得多跑操/smile)
\int \frac{s}{s^2+x^2}\frac{1}{a^2+x^2}dx
=s\left[ \frac{1}{s^2-a^2}\int{\frac{1}{\left( a^2+x^2 \right)}}-\frac{1}{\left( s^2+x^2 \right)} \right]
=\frac{s}{s^2+a^2}\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}-\frac{s}{s^2+a^2}\frac{1}{s}\arctan \frac{x}{s}+C
=\frac{s}{s^2+a^2}\left[ \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}-\frac{1}{s}\arctan \frac{x}{s} \right] +C
我们带入上下限
M=\frac{s}{s^2-a^2}\left[ \frac{\pi}{2a}-\frac{\pi}{2s} \right] =\frac{\pi}{s^2-a^2}\frac{s-a}{2a}=\color{red}{\frac{\pi}{2a}\frac{1}{s+a}}
wuwuwu!
注意到 \mathscr{L}_b\left[ e^{-ab} \right] =\frac{1}{s+a} ，则
J=\mathscr{L}^{-1}_b\mathscr{L}_b\left[ J \right] =\mathscr{L}_b^{-1}\left[ I \right] =\frac{\pi}{2a}e^{-ab}
抄下来
\color{red}{\int_0^{\infty}{\frac{\cos bx}{a^2+x^2}dx}= \frac{\pi}{2a}e^{-ab}} \\

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如果想学更多关于Laplace 物理的运用和数学实例，极力推荐大佬

的文章：

\large{\color{red}{\boxed{\star 感谢TravorLZH大佬授权转载！}}}

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·后记

时间紧迫，还有好多有趣的积分想分享，估计是没时间了，待我中考过后，保证补上(哭)

只有写文章之后才会发现自己latex多么辣鸡，这篇文章我每天晚上写一个小时，写了三个小时(啊哈哈哈，别笑我)

......

(未完待续——将于7月20左右更新)

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\huge{——} \color{blue}{\huge{By }} \color{red}{\huge{huchang}}

never end