上周面试一个候选人，问了一个数据结构与算法的问题，表达式求值。

题目大概是这样的：

• 输入长度为n的字符串，例如：1+2+3*4*5
• 输出表达式的值，即：63

我暗示的问：应该用什么数据结构？候选人回答：栈。

画外音：算是答对。​

问：时间复杂度呢？回答：O(n^2)

画外音：额，应该不需要两个for循环吧。​

我接着提示：应该先计算哪一步？候选人回答：先计算3*4。

画外音：额，难道是乘除大于加减？

实际应该先计算1+2，说明候选人对“表达式求值”并没有搞透。​

怎么用栈来实现呢？候选人：…

本来以为是送分题，候选人竟一时语塞。

为了广大面试的同学不再在这一题上送命，今天花几分钟把这个问题讲透彻。

画外音：希望没有帮面试官增加题库。​

“表达式求值”问题，两个核心关键点：

(1) 双栈，一个操作数栈，一个运算符栈；

(2) 运算符优先级，栈顶运算符，和，即将入栈的运算符的优先级比较：

• 如果栈顶的运算符优先级低，新运算符直接入栈​
• 如果栈顶的运算符优先级高，先出栈计算，新运算符再入栈​

仍以1+2+3*4*5举例，看是如何利用上述两个关键点实施计算的。

首先，这个例子只有+和*两个运算符，所以它的运算符表是：

这里的含义是：

• 如果栈顶是+，即将入栈的是+，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；
• 如果栈顶是+，即将入栈的是*，栈顶优先级低，直接入栈；
• 如果栈顶是*，即将入栈的是+，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；
• 如果栈顶是*，即将入栈的是*，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；

画外音：运算符有+-*/()~^&都没问题，如果共有n个运算符，会有一个n*n的优先级表。​

有了运算符表，一切就好办了。

一开始，初始化好输入的字符串，以及操作数栈，运算符栈。

一步步，扫描字符串，操作数一个个入栈，运算符也入栈。

画外音：如果有“789”这样的多个字符的多位数，要先转化为数字789，这个过程很容易。​

下一个操作符要入栈时，需要先比较优先级。

栈内的优先级高，必须先计算，才能入栈。

计算的过程为：

• 操作数出栈，作为num2；
• 操作数出栈，作为num1；
• 运算符出栈，作为op；
• 计算出结果；

(5) 结果入操作数栈；

接下来，运算符和操作数才能继续入栈。下一个操作符要入栈时，继续比较与栈顶的优先级。

栈内的优先级低，可以直接入栈。

字符串继续移动。

又要比较优先级了。

栈内的优先级高，还是先计算（3*4=12），再入栈。

不断入栈，直到字符串扫描完毕。

不断出栈，直到得到最终结果3+60=63，算法完成。

“表达式求值”问题，两个核心关键点：

(1) 双栈，一个操作数栈，一个运算符栈；

(2) 运算符优先级，栈顶运算符，和，即将入栈的运算符的优先级比较：

• 如果栈顶的运算符优先级低，新运算符直接入栈​
• 如果栈顶的运算符优先级高，先出栈计算，新运算符再入栈​

这个方法的时间复杂度为O(n)，整个字符串只需要扫描一遍。

思路比结论重要，学到了吗？​