平面图形的面积

若平面域DDD由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x)),x=a,x=b(a<b)y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成，则

S=∫ab[f(x)−g(x)]dx S=\int^{b}_{a}[f(x)-g(x)]dx

S=∫ab​[f(x)−g(x)]dx

化成二重积分

S=∬D1dσ=∫badx∫g(x)f(x)dy S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{a}_{b}dx \int^{f(x)}_{g(x)}dy

S=D∬​1dσ=∫ba​dx∫g(x)f(x)​dy

若平面域DDD由曲线ρ=ρ(θ),θ=α,θ=β(α<β)\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha,\theta =\beta(\alpha<\beta)ρ=ρ(θ),θ=α,θ=β(α<β)所围成，则

S=12∫αβρ2(θ)dθ S= \frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\rho ^{2}(\theta )d \theta

S=21​∫αβ​ρ2(θ)dθ

化成二重积分

S=∬D1dσ=∫αβdθ∫0ρ(θ)ρdρ S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{\beta}_{\alpha}d \theta \int^{\rho (\theta )}_{0}\rho d \rho

S=D∬​1dσ=∫αβ​dθ∫0ρ(θ)​ρdρ

旋转体体积

若平面域DDD由曲线y=f(x),(f(x)≥0),x=a,x=b(a<b)y=f(x),(f(x)\geq0),x=a,x=b(a<b)y=f(x),(f(x)≥0),x=a,x=b(a<b)所围成，则

区域DDD绕xxx轴旋转一周所得到的旋转体积为

Vx=π∫abf2(x)dx V_{x}=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx

Vx​=π∫ab​f2(x)dx

取一小段dx,(a<x<b)dx,(a<x<b)dx,(a<x<b)，则这一小段绕xxx轴旋转的得到圆柱的高为dxdxdx，半径为f(x)f(x)f(x)，因此体积为

dV=πf2(x)dx dV=\pi f^{2}(x)dx

dV=πf2(x)dx

然后积分得到VxV_{x}Vx​

区域DDD绕yyy轴旋转一周所得到的旋转体积为

Vy=2π∫abxf(x)dx V_{y}=2 \pi \int^{b}_{a}xf(x)dx

Vy​=2π∫ab​xf(x)dx

取一小段dx,(a<x<b)dx,(a<x<b)dx,(a<x<b)，则这一小段绕yyy轴旋转出来一个圆筒，将该圆筒在任意一处竖直截开，得到一个长方体，该长方体的宽为dxdxdx，高为f(x)f(x)f(x)，长为2πx2\pi x2πx，因此体积为

dV=2πxf(x)dx dV=2\pi xf(x)dx

dV=2πxf(x)dx

然后积分得到VyV_{y}Vy​

对于任意的区域DDD绕ax+by=cax+by=cax+by=c旋转，得到的旋转体体积，可以考虑二重积分，即在DDD取dσd \sigmadσ，该面积微元绕直线旋转得到一个环状体，该环状体的面积为dσd \sigmadσ，长度为2πr(x,y)2\pi r(x,y)2πr(x,y)，其中r(x,y)r(x,y)r(x,y)表示该面积微元到直线的距离一般为r(x,y)=∣ax+by−c∣a2+b2\begin{aligned} r(x,y)=\frac{|ax+by-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{aligned}r(x,y)=a2+b2​∣ax+by−c∣​​，因此该环状体体积为

V=2πr(x,y)dσ V=2 \pi r(x,y)d \sigma

V=2πr(x,y)dσ

对面积微元做二重积分即可得到整体体积，即

V=2π∬Dr(x,y)dσ V=2\pi \iint\limits_{D}r(x,y)d \sigma

V=2πD∬​r(x,y)dσ

用该结论推绕x,yx,yx,y轴旋转的结论
区域DDD绕xxx轴旋转一周所得到的旋转体积为

V=2π∬Dydσ=2π∫abdx∫0f(x)ydy=π∫abf2(x)dx V=2\pi\iint\limits_{D}yd \sigma=2\pi \int^{b}_{a}dx \int^{f(x)}_{0}ydy=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx

V=2πD∬​ydσ=2π∫ab​dx∫0f(x)​ydy=π∫ab​f2(x)dx

区域DDD绕yyy轴旋转一周所得到的旋转体积为

V=2π∬Dxdσ=2π∫abdx∫0f(x)xdy=2π∫abxf(x)dx V=2\pi \iint\limits_{D}x d \sigma=2\pi \int^{b}_{a}dx \int^{f(x)}_{0}xdy=2\pi \int^{b}_{a}xf(x)dx

V=2πD∬​xdσ=2π∫ab​dx∫0f(x)​xdy=2π∫ab​xf(x)dx

如果由直角坐标方程给出C:y=y(x),a≤x≤bC:y=y(x),a\leq x\leq bC:y=y(x),a≤x≤b

s=∫ab1+y′2dx s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx

s=∫ab​1+y′2​dx

如果由参数方程给出C:{x=x(t)y=y(t),α≤t≤βC:\left\{\begin{aligned}&x=x(t)\\&y=y(t)\end{aligned}\right.,\alpha\leq t \leq \betaC:{​x=x(t)y=y(t)​,α≤t≤β

s=∫αβx′2+y′2dt s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}dt

s=∫αβ​x′2+y′2​dt

如果由极坐标方程给出C:ρ=ρ(θ),α≤θβC:\rho =\rho (\theta ),\alpha\leq \theta \betaC:ρ=ρ(θ),α≤θβ

s=∫αβρ2+ρ′2dθ s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\rho ^{2}+\rho '^{2}}d \theta

s=∫αβ​ρ2+ρ′2​dθ

直接带公式即可，没什么技巧

旋转体侧面积

S=2π∫abf(x)1+f′2(x)dx S=2\pi \int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx

S=2π∫ab​f(x)1+f′2(x)​dx

这里去任意一小段dxdxdx，对应弧dSdSdS，则根据勾股定理，有

dS=\sqrt{(dx){2}+(f’(x)dx){2}}=\sqrt{1+f’^{2}(x)}dx

即 $$S=2\pi \int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx=2\pi \int^{b}_{a}f(x)dS

此处在曲线弧长的直角坐标方程就已经有提到

压力，变力做功，引力

常考题型与典型例题

平面域面积和旋转体体积的计算

例1：设DDD是由曲线xy+1=0xy+1=0xy+1=0与直线y+x=0y+x=0y+x=0及y=2y=2y=2围成的有界区域，则DDD的面积为（）

![[附件/Pasted image 20220901084351.png]]

S=∬D1dσ=∫12dy∫−y−1ydx=∫12(y−1y)dy=(12y2−ln⁡y)∣12=32−ln⁡2 \begin{aligned}

S=\iint\limits_{D}1d \sigma&=\int^{2}_{1}dy \int^{- \frac{1}{y}}_{-y}dx\\&=\int^{2}_{1}(y- \frac{1}{y})dy\\

&=(\frac{1}{2}y^{2}-\ln y)\Big|^{2}_{1}\\

&= \frac{3}{2}-\ln 2

\end{aligned}

S=D∬​1dσ​=∫12​dy∫−y−y1​​dx=∫12​(y−y1​)dy=(21​y2−lny)∣∣​12​=23​−ln2​

例2：设封闭曲线LLL的极坐标方程为r=cos⁡3θ(−π6≤θ≤π6)r=\cos3\theta (-\frac{\pi}{6}\leq \theta \leq \frac{\pi}{6})r=cos3θ(−6π​≤θ≤6π​)，则LLL所围平面图形的面积为（）

![[附件/Pasted image 20220901090302.png]]

S=12∫αβρ2(θ)dθ=2⋅12∫0π6cos⁡23θdθ=12∫0π6(1+cos⁡6θ)dθ=12(θ+16sin⁡6θ)∣0π6=π12 \begin{aligned}

S= \frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\rho^{2}(\theta )d \theta &=2\cdot\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}_{0}\cos ^{2}3\theta d \theta \\

&=\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}_{0}(1+\cos 6\theta )d \theta \\

&=\frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{6}\sin 6\theta )\Big|^{\frac{\pi}{6}}_{0}\\

&= \frac{\pi}{12}

\end{aligned}

S=21​∫αβ​ρ2(θ)dθ​=2⋅21​∫06π​​cos23θdθ=21​∫06π​​(1+cos6θ)dθ=21​(θ+61​sin6θ)∣∣​06π​​=12π​​

例3：过点(0,1)(0,1)(0,1)作曲线L:y=ln⁡xL:y=\ln xL:y=lnx的切线，切点为AAA，又 LLL与xxx轴交于BBB点，区域DDD由LLL与直线ABABAB围成，求区域DDD的面积及DDD绕xxx轴旋转一周所得旋转体的体积

![[附件/Pasted image 20220901093720.png]]

y−y0=1x0(x−x0)⇒1−ln⁡x0=−1⇒x0=e2 y-y_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x-x_{0})\Rightarrow 1-\ln x_{0}=-1 \Rightarrow x_{0}=e^{2}

y−y0​=x0​1​(x−x0​)⇒1−lnx0​=−1⇒x0​=e2

y−1=k(x−0)⇒y=kx+1⇒{kx+1=ln⁡xk=1x⇒x=e2 y-1=k(x-0)\Rightarrow y=kx+1\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&kx+1=\ln x\\&k=\frac{1}{x}\end{aligned}\right.\Rightarrow x=e^{2}

y−1=k(x−0)⇒y=kx+1⇒⎩⎨⎧​​kx+1=lnxk=x1​​⇒x=e2

可知CCC点坐标为(e2,2)(e^{2},2)(e2,2)

S=∫1e2ln⁡xdx−12(e2−1)2=2V=π∫1e2ln⁡2xdx−13⋅π22⋅(e2−1)=2π3(e2−1) \begin{aligned}

S&=\int^{e^{2}}_{1}\ln xdx- \frac{1}{2}(e^{2}-1)2=2\\

V&=\pi \int^{e^{2}}_{1}\ln ^{2}xdx- \frac{1}{3}\cdot \pi2^{2}\cdot (e^{2}-1)=\frac{2\pi}{3}(e^{2}-1)

\end{aligned}

SV​=∫1e2​lnxdx−21​(e2−1)2=2=π∫1e2​ln2xdx−31​⋅π22⋅(e2−1)=32π​(e2−1)​

例4：曲线y=∫0xtan⁡tdt(0≤x≤π4)y=\int^{x}_{0}\tan tdt(0\leq x\leq \frac{\pi}{4})y=∫0x​tantdt(0≤x≤4π​)的弧s=()s=()s=()

s=∫ab1+y′2dx=∫0π41+tan⁡2xdx=∫0π4sec⁡xdx=ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)∣0π4=ln⁡(2+1) \begin{aligned}

s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx&=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sqrt{1+\tan ^{2}x}dx\\

&=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sec xdx\\

&=\ln (\sec x+\tan x)\Big|^{\frac{\pi}{4}}_{0}\\

&=\ln (\sqrt{2}+1)

\end{aligned}

s=∫ab​1+y′2​dx​=∫04π​​1+tan2x​dx=∫04π​​secxdx=ln(secx+tanx)∣∣​04π​​=ln(2​+1)​

例5：一容器的内侧是由图中曲线绕yyy轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥12)x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2})x2+y2=2y(y≥21​)与x2+y2=1(y≤12)x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2})x2+y2=1(y≤21​)连接而成

• 求容器容积

• 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功

（长度单位mmm，重力加速度gm/s2g m/s^{2}gm/s2，水的密度为103kg/m310^{3} kg/m^{3}103kg/m3）

![[附件/Pasted image 20220901100107.png|250]]

在x2+y2=1(y≤12,x≥0)x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2},x\geq0)x2+y2=1(y≤21​,x≥0)取一个dydydy的小薄片，则该小薄片绕yyy轴旋转的体积为

πx2dy\pi x^{2}dy πx2dy

其实用最基本的公式或二重积分都能做出来

V=2⋅π∫−112x2dy=2⋅π∫−112(1−y2)dy=9π4 V=2\cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}_{-1}x^{2}dy=2 \cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^{2})dy=\frac{9\pi}{4}

V=2⋅π∫−121​​x2dy=2⋅π∫−121​​(1−y2)dy=49π​

在x2+y2=1(y≤12)x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2})x2+y2=1(y≤21​)取一个dydydy的小薄片，则该小薄片到y=2y=2y=2的距离SSS为

S=2−yS=2-y S=2−y

对于FFF，有

F=mg=ρVg=103⋅πx2⋅dy⋅gF=mg=\rho Vg=10^{3}\cdot \pi x^{2}\cdot dy \cdot g F=mg=ρVg=103⋅πx2⋅dy⋅g

对于x2+y2=2y(y≥12)x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2})x2+y2=2y(y≥21​)同理，换一个方程就行

W=103g∫−112π(1−y2)(2−y)dy+103g∫122π(2y−y2)(2−y)dy=278⋅103πg \begin{aligned}

W&=10^{3}g\int^{\frac{1}{2}}_{-1}\pi(1-y^{2})(2-y)dy+10^{3}g \int^{2}_{\frac{1}{2}}\pi(2y-y^{2})(2-y)dy\\

&=\frac{27}{8}\cdot 10^{3}\pi g

\end{aligned}

W​=103g∫−121​​π(1−y2)(2−y)dy+103g∫21​2​π(2y−y2)(2−y)dy=827​⋅103πg​

考虑一个薄层dydydy一般称为元素法（微元法）

例6：某闸门的形状与大小如图所示，其中yyy为对称轴，闸门的上部为矩形ABCDABCDABCD，DC=2mDC=2mDC=2m，下部由二次抛物线与线段ABABAB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:45:45:4，闸门矩形部分的高hhh应为多少

![[附件/Pasted image 20220901102043.png|150]]

F=PSF=PSF=PS

本题也是元素法，不做详细讲解

F1=2∫1h+1ρg(h+1−y)dy=2ρg[(h+1)y−y22]1h+1=ρgh2F2=2∫01ρg(h+1−y)ydy=2ρg[23(h+1)y32−25y52]01=4ρg(13h+215) \begin{aligned}

F_{1}&=2\int^{h+1}_{1}\rho g(h+1-y)dy=2\rho g\left[(h+1)y- \frac{y^{2}}{2}\right]^{h+1}_{1}\\

&=\rho gh^{2}\\

F_{2}&=2\int^{1}_{0}\rho g(h+1-y)\sqrt{y}dy=2\rho g\left[\frac{2}{3}\left(h+1\right)y^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}\right]^{1}_{0}\\

&=4 \rho g\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right)

\end{aligned}

F1​F2​​=2∫1h+1​ρg(h+1−y)dy=2ρg[(h+1)y−2y2​]1h+1​=ρgh2=2∫01​ρg(h+1−y)y​dy=2ρg[32​(h+1)y23​−52​y25​]01​=4ρg(31​h+152​)​

因此，由题意得

h24(13h+215)=54⇒h=2,h=13 \frac{h^{2}}{4\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right)}= \frac{5}{4}\Rightarrow h=2,h=\frac{1}{3}

4(31​h+152​)h2​=45​⇒h=2,h=31​

用Python的matplotlib绘图感觉有点麻烦，个人也没研究明白，暂时用GeoGebra绘图代替一下，所以最近的笔记绘图不会给出源代码了，如果有需要可以私信要一下GeoGebra源文件