零钱兑换问题

作者：Grey

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题目描述#

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

题目链接：LeetCode 322. Coin Change

暴力递归#

定义递归函数

int p(int[] coins, int i, int rest)

递归含义是：从 i 往后自由选择，可以凑成 rest 的最少硬币个数是多少。

所以主函数只需要调用p(coins, 0, amount)就是答案。

接下来看递归方法的实现：

首先是 base case ，有如下三种情况

情况1，如果rest < 0，说明之前的决策有问题（如果决策没问题，不可能让 rest 小于0）。返回 -1，表示决策有问题；

情况2，如果rest == 0，说明之前的决策凑出了 amount，接下来不需要任何硬币，直接返回 0。

情况3，如果rest > 0，而此时，i == coins.length，说明 i 走到了尽头（没有硬币可选了），rest都不为空，直接返回 -1 即可。

接下来就是普遍情况，枚举每个位置硬币的数量 num 情况下，后续的最优解是什么，核心代码如下，关键就是 while 循环中的内容：

int min = Integer.MAX_VALUE;
        int num = 0;
        // 枚举每个位置的硬币个数，从 0 开始....
        while (num * coins[i] <= rest) {
            // 解决后续的钱数
            int after = p(coins, i + 1, rest - num * coins[i]);
            if (after != -1) {
                min = Math.min(num + after, min);
            }
            num++;
        }
        return min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min;

暴力递归解法的完整代码如下：

    public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if (coins == null || coins.length == 0) {
            return -1;
        }
        return p(coins, 0, amount);
    }

    // 从i...往后自由选择，凑成rest的最少的硬币个数
    public static int p(int[] coins, int i, int rest) {
        if (rest < 0) {
            return -1;
        }
        if (rest == 0) {
            return 0;
        }
        // rest不为空
        if (i == coins.length) {
            // i 已经走到尽头
            return -1;
        }
        // 既没有到最后，也还有剩余
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int num = 0;
        while (num * coins[i] <= rest) {
            int after = p(coins, i + 1, rest - num * coins[i]);
            if (after != -1) {
                min = Math.min(num + after, min);
            }
            num++;
        }
        return min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min;
    }

使用暴力解，LeetCode 直接超时

动态规划#

可以将上述的暴力递归解法改成动态规划的解，定义一个二维数组int[][] dp = new int[n + 1][amount + 1]，其中

dp[i][j]的含义就是硬币从 i 开始自由选择，一直到最后，能凑出 j 的硬币数量是多少

for (int i = 1; i < amount + 1; i++) {
            dp[n][i] = -1;
        }

即：无硬币情况下，只要 i 不等于 0，都不可能有选择，直接赋 -1。

接下来就是递归过程转换成动态规划的格子依赖，其中 while 循环就是枚举每个位置硬币有 num 枚的时候，最优解法是什么。

        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 1; j < amount + 1; j++) {
                int min = Integer.MAX_VALUE;
                int num = 0;
                // 枚举行为，可以继续优化
                while (num * coins[i] <= j) {
                    int after = dp[i + 1][j - num * coins[i]];
                    if (after != -1) {
                        min = Math.min(num + after, min);
                    }
                    num++;
                }
                dp[i][j] = (min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min);
            }
        }

完整代码如下

class Solution {
    public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if (coins == null || coins.length == 0) {
            return -1;
        }
        int n = coins.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][amount + 1];
        for (int i = 1; i < amount + 1; i++) {
            dp[n][i] = -1;
        }
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 1; j < amount + 1; j++) {
                int min = Integer.MAX_VALUE;
                int num = 0;
                // 枚举行为，可以继续优化
                while (num * coins[i] <= j) {
                    int after = dp[i + 1][j - num * coins[i]];
                    if (after != -1) {
                        min = Math.min(num + after, min);
                    }
                    num++;
                }
                dp[i][j] = (min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min);
            }
        }
        return dp[0][amount];
    }
}

枚举优化#

动态规划解中，以下 while 循环

                int min = Integer.MAX_VALUE;
                int num = 0;
                // 枚举行为，可以继续优化
                while (num * coins[i] <= j) {
                    int after = dp[i + 1][j - num * coins[i]];
                    if (after != -1) {
                        min = Math.min(num + after, min);
                    }
                    num++;
                }
                dp[i][j] = (min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min);

可以优化成如下形式

                dp[i][j] = dp[i + 1][j];
                if (j - coins[i] >= 0 && dp[i][j - coins[i]] != -1) {
                    if (dp[i][j] == -1) {
                        dp[i][j] = dp[i][j - coins[i]] + 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - coins[i]] + 1, dp[i][j]);
                    }
                }

完整代码见

class Solution {
    public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if (coins == null || coins.length == 0) {
            return -1;
        }
        int n = coins.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][amount + 1];
        for (int i = 1; i < amount + 1; i++) {
            dp[n][i] = -1;
        }
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 1; j < amount + 1; j++) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j];
                if (j - coins[i] >= 0 && dp[i][j - coins[i]] != -1) {
                    if (dp[i][j] == -1) {
                        dp[i][j] = dp[i][j - coins[i]] + 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - coins[i]] + 1, dp[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
        return dp[0][amount];
    }
}

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