戴德金分割與1為何等於0.9...(無限循環)

所有有理數皆可表示為兩個整數的比值，形如 pq\frac{p}{q}qp​ ，而無理數就是不能的那些，但是這個定義太含糊了，以至於許多年來數學家不願承認無理數是數字 用 pq\frac{p}{q}qp​ 就能輕鬆證明 2\sqrt{2}2​ 不是有理數，這裡就不贅述

有理數有兩個性質

• 稠密性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個有理數)
• 不完備性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個無理數，故而不能構成連續性，即不完備)

戴德金分割

戴德金分割定義了一種形式，即我們可以在任何一點將有理數(集合 QQQ)分割為兩集合 AAA, BBB

1. A≠∅A \ne \varnothingA=∅
2. A≠QA \ne QA=Q
3. If x,y∈Qx, y \in Qx,y∈Q, x<yx < yx<y, and y∈Ay \in Ay∈A, then x∈Ax ∈ Ax∈A
4. If x∈Ax \in Ax∈A, ∃y∈A\exists y \in A∃y∈A such that y>xy > xy>x

1 和 2 非常直觀，你不能切出個什麼都沒有的集合，1 就是把 AAA 都切沒了，反之 2 就是把 BBB 切到一個不剩 3 有點難理解，這是什麼意思呢？這是在說 AAA 是向下關閉(closed downwards)的，小於 AAA 中元素的任意有理數元都比然屬於 AAA 4 則是說明了一種情況為 AAA 沒有最大的有理數存在 e.g. A={x∣x∈Q,x<2}A = \{x | x \in Q, x < 2\}A={x∣x∈Q,x<2} 這裡 xxx 到 222 之間也會有無窮多有理數故沒有最大值

那麼我們可以推論出三種分割

1. AAA 有最大元, BBB 沒有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 AAA)
2. AAA 沒有最大元，BBB 有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 BBB)
3. AAA 與 BBB 皆沒有最大最小元(即分割於無理數上)

其中可以得出第三種分割點即為無理數

證明 0.9‾0.\overline{\rm 9}0.9 等於 111

首先我們用 0.9‾0.\overline{\rm 9}0.9 分割出集合 AAA, BBB 用 1 分割出集合 CCC, DDD

顯而易見的是我們只要證明 A≡CA \equiv CA≡C 即可

• 對所有 a∈A,a<0.9‾,a<1,a∈Ca \in A, a < 0.\overline{\rm 9}, a < 1, a \in Ca∈A,a<0.9,a<1,a∈C (利用 3，0.9‾0.\overline{\rm 9}0.9 無論如何不大於 111 故可推論 aaa 至少小於 111)
• 令 c∈C,c<1c \in C, c < 1c∈C,c<1，其中 ccc 可表示為 pq\frac{p}{q}qp​，故 1−pq>01-\frac{p}{q} > 01−qp​>0，且 1−pq≤1−1q1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q}1−qp​≤1−q1​，且必然可以找到 nnn 符合形式 1q>(110)n\frac{1}{q} > (\frac{1}{10})^nq1​>(101​)n， 那麼 1−pq≤1−1q<1−(110)n<0.9‾1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q} < 1-(\frac{1}{10})^n < 0.\overline{\rm 9}1−qp​≤1−q1​<1−(101​)n<0.9，即證明 c∈Ac \in Ac∈A

綜合即知 AAA 就是 CCC，即 0.9‾=10.\overline{\rm 9} = 10.9=1