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NOTE: 演算法的各種時間複雜度

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NOTE: 演算法的各種時間複雜度

演算法時間複雜度分析：對每個不同的輸入大小，其基本運算所執行的次數

所有情況時間複雜度 T(n)T(n)T(n)

  • 有些情況下基本運算執行次數與輸入大小以及輸入皆有關，例如循序搜尋中，目標值位置就會影響實際執行時間：假設目標 xxx 在第一位，那只需要比較一次；xxx 不在陣列中就需要比較 nnn 次
  • 但對另一些演算法而言，基本運算執行次數只與輸入大小有關，這時我們稱存在 T(n)T(n)T(n)

最差情況時間複雜度 W(n)W(n)W(n)

對 T(n)T(n)T(n) 存在的演算法而言，W(n)≡T(n)W(n) \equiv T(n)W(n)≡T(n)

平均情況時間複雜度 A(n)A(n)A(n)

同樣地，只要 T(n)T(n)T(n) 存在，則 A(n)≡T(n)A(n) \equiv T(n)A(n)≡T(n)。事實上只要 T(n)T(n)T(n) 存在就不需要分析剩下的情況了，因為 T(n)T(n)T(n) 是一對一的函數。分析 A(n)A(n)A(n) 需要對 n 的可能輸入指定機率，例如對循序搜尋法處理不知情況下的陣列，目標 xxx 出現在每個位置的機率相等。但有些時候我們知道要處理的資料有特殊分佈，這時候就不能這機率相等的假設。Example:

循序搜尋對目標 xxx 在 kkk 處的陣列需要執行比較 kkk 次，對輸入大小為 nnn 的陣列，目標 xxx 在每個位置出現機率皆為 1n\frac{1}{n}n1​。換句話說循序搜尋有 1n\frac{1}{n}n1​ 的機率需要執行 kkk 次比較，而對所有 nnn 分析如下

A(n)=∑k=1n(k×1n)=1n×∑k=1n(k)=1n×n(n+1)2=n+12A(n) = \sum_{k=1}^{n} (k \times \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \times \sum_{k=1}^{n} (k) = \frac{1}{n} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}A(n)=k=1∑n​(k×n1​)=n1​×k=1∑n​(k)=n1​×2n(n+1)​=2n+1​

重點：不要把平均時間當成執行時間，尤其在執行時間分佈並不集中時，循序搜尋正是這類案例，因為對所有 nnn，任意 kkk 值的機率都是一樣的

最佳情況時間複雜度 B(n)B(n)B(n)

最佳情況複雜度就是對所有 nnn 能輸出的最小值，一樣用循序搜尋法作為案例，最佳情況為 xxx 在第一個位置時，此時對所有 nnn 執行的比較次數都是 111。

最佳情況通常不是分析時的重點，除非該演算法具有 T(n)T(n)T(n)。通常將精力放在平均情況上，但對特定有時限的任務最差情況分析也很重要。


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