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發明矩形面積公式
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發明矩形面積公式
在課堂上，矩形的面積公式被寫成 lwlwlw 或是 l×wl \times wl×w（讓我們假設長為 lll，寬為 www）。當解釋為何如此時，常常告訴學生這是因為矩形可以被拆解成 lwlwlw 個單位正方形。但說到底單位正方形的面積也是用同一個公式算出來的，所以我們不應滿足於這樣的解釋，那麼我們又要怎麼推導出我們常用的矩形公式呢？這就是這篇文章想要說明的事情。接下來就讓我們進入直覺的世界。
根據日常經驗，我們可以知道不管面積怎麼定義，都和長寬有關係。我們可以定義出一個函數 AAA（Area），面積可以表述為
A(l,w)A(l, w)A(l,w)
第二件事，當我們把寬加倍，面積也應該加倍。這可以表述為
A(l,2w)=2A(l,w)A(l, 2w) = 2A(l, w)A(l,2w)=2A(l,w)
事實上，不一定要是 222，因此我們可以延伸為
A(l,nw)=nA(l,w)A(l, nw) = nA(l, w)A(l,nw)=nA(l,w)
反過來也可以套用到長上，所以以下公式也成立
A(nl,w)=nA(l,w)A(nl, w) = nA(l, w)A(nl,w)=nA(l,w)
現在我們把 lll 看成 l1l1l1，把 www 看成 w1w1w1，於是以下公式也成立
A(l,w)=lA(1,w)=lwA(1,1)A(l, w) = lA(1, w) = lwA(1, 1)A(l,w)=lA(1,w)=lwA(1,1)
也就是說到此我們證明了 A(l,w)A(l, w)A(l,w) 的面積是 lwlwlw 個 A(1,1)A(1,1)A(1,1) 個單位正方形的面積，而單位正方形多大？我們不知道，我們當然可以讓它是方便的 111，但假設是 303030，也是對的。因此我們的面積公式可以是 A=lwA = lwA=lw，也可以是 A=30lwA = 30lwA=30lw。
這套想法可以輕易的推到體積上，以下三個函數都應該是對的
- A(na,b,c)=nA(a,b,c)A(na,b,c) = nA(a,b,c)A(na,b,c)=nA(a,b,c)
- A(a,nb,c)=nA(a,b,c)A(a,nb,c) = nA(a,b,c)A(a,nb,c)=nA(a,b,c)
- A(a,b,nc)=nA(a,b,c)A(a,b,nc) = nA(a,b,c)A(a,b,nc)=nA(a,b,c)
因此我們應該可以相信我們對 nnn 維空間的直覺，寫下
V(l1,l2,l3,...,ln)=l1l2l3...lnV(1,1,1,...,1)V(l_1,l_2,l_3,...,l_n) = l_1l_2l_3...l_nV(1,1,1,...,1)V(l1,l2,l3,...,ln)=l1l2l3...lnV(1,1,1,...,1)
所以數學發明的過程不只告訴我們常見的公式從何而來，還提醒了我們單位面積不必然要是 111 這個概念。
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