微积分小感——3.简单积分

所需的前置知识：
1）函数的概念
2）实数理论
3）极限理论（第0章）
4）导数与微分（第1章）
5）微分学基本定理（第2章）

§1.定积分

—1.定积分的定义

​ 定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子：

求二次函数 f(x)=x2 与直线 x=0,x=1 以及 x 轴围成的曲边形的面积 S 。

初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题，我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限，用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么？矩形。那么，我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 [0,1] 等分为 n 份，以每份的右端点的函数值为高，计算出面积和：

当 n→∞ 时，Sn 趋于 S ，也就是：

得出结论 S=13 。

​ 更一般的，对于求函数 f(x) 与直线 x=a,x=b 以及 x 轴围成的曲边形的面积，我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 [a,b] 内一定数量的点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ，取点可以不均匀（这在极限意义下都是无关紧要的），然后将两点之间的距离 Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 Δxi ，在区间 [xi−1,xi] 内取一点 ξi ，并以这一点的函数值 f(ξi) 作为矩形的高，算出所有矩形面积之和：

然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点，单纯令 n→∞ 是不能达到逼近曲边形面积的效果的（例如取区间 [a,b] 的 1/2,1/4,1/8,⋯,1/2n 处），我们应令 λ=max{Δxi}→0 ，也就是所有的底边长度的最大值趋于零，才能得到正确结果：

等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]：

形象地看，定积分的符号就是将 S 拉长成 ∫ ， f(ξi) 写成 f(x) ， Δx 写成 dx ，并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。

附注：
此处的 dx 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边，但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。

—2.定积分的性质

​ 如上定积分的定义局限于 a<b 的情况，简单粗暴的补充：

就可以对任意的 a,b 做定积分了。

​ 定积分满足如下显然的（所谓证明不过是套定义式罢了）运算法则：

(ⅰ) 加减法则：∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
(ⅱ) 系数法则：∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx （ k 为常数）
(ⅲ) 连接法则：∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫caf(x)dx

​ 或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了，但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急，插个题外话，一切便豁然开朗。

§2.不定积分

—1.不定积分的定义

​ 求导是一种将函数变为另一个函数的运算（这被称为“算子”），如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法，我们定义如下的求导的逆运算：

若两函数 F(x),f(x) 满足 F′(x)=f(x) ，就称：

∫f(x)dx=F(x)+C

其中 C 为任意常数，此运算称为对 f(x) 的不定积分， F(x) 称为 f(x) 的原函数。

常数 C 的存在，是由于常数不会影响求导结果。正因如此，不定积分的结果不是一个函数，而是一个函数集合 F={F(x)+C|C∈R} ，这也就是其被称为“不定”积分的缘故。

​ 出于严谨，我们要检验一下不定积分的完备性，也就是不会出现 G′(x)=f(x) 且 G′(x)∉F ：

证明： F′(x)=G′(x) 当且仅当 F(x)−G(x) 为常数。

• 由前推后：令 ϕ(x)=F(x)−G(x) ，则 ϕ′(x)=F′(x)−G′(x)=0 ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，ϕ(x) 为常函数，得证。

• 由后推前：显然。

于是我们完备地得到了不定积分的定义。

​ 根据不定积分的定义，有显然的恒等式：

我们把函数 y=f(x) 的导数写成微分之比 y′=dydx 的形式，自然地约掉 dx 得到：

于是，我们可以理解为： ∫ 和 d 是一对互逆运算！[1]

​ 不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则：

对于函数 u=f(x) ，v=g(x) ：

​ (ⅰ) 加减法则： ∫(u±v)dx=∫udx±∫vdx
​ (ⅱ) 系数法则： ∫(k⋅u)dx=k⋅∫udx （ k 为常数）

但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧（以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字，改为了“分部积分法”和“换元积分法”），我们会专辟一节加以讨论，此处且按下不表。

—2.微积分基本定理

​ 读到此处你一定会发现一件怪事：定积分和不定积分的定义迥然不同，但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理（又名牛顿-莱布尼茨定理）：

若 F′(x)=f(x) ，则：

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

我们有时记等号右侧为 F(x)|ba ，如同时记 F(x)=∫f(x)dx ，就能得到如下的优美式子：

∫baf(x)dx=∫f(x)dx|ba

​ 是不是令人折服？现在运用拉格朗日中值定理证明之：

证明：若 F′(x)=f(x) ，则：

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

摆出定积分的定义式：

∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi

对于任意一段 [xi−1,xi] ，由拉格朗日中值定理[2]，有：

F(xi)−F(xi−1)=f(ci)Δxici∈(xi−1,xi)

由于 ξi 的选取是任意的，不妨令 ξi=ci ，那么：

n∑i=1f(ξi)Δxi=n∑i=1f(ci)Δxi=n∑i=1(F(xi)−F(xi−1))=F(xn)−F(x0)

∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξi)Δxi=limλ→0(F(xn)−F(x0))=F(b)−F(a)

命题得证。

​ 有了微积分基本定理，我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度，这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时，其意义则十分重大：从几何角度，“积分”就是求曲边图形面积，“微分”就是求曲线斜率；从物理角度，“积分”就是求连续变化系统的宏观状态，“微分”就是求连续变化系统的微观改变；微积分基本定理就是在说，以上这两对操作分别互逆！

​ 有了微积分基本定理之后，我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题，定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。

—3.微积分基本定理的相关结论和例子

​ 如下结论从证明的路线上来说，理应出现再微积分基本定理前边（至少是同时），但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。

1. 积分中值定理

   对于区间 [a,b] 上的函数 f(x) ，存在 c∈[a,b] 使得：

   ∫baf(x)dx=f(c)(b−a)

   令 F(x)=∫f(x)dx ，则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理：

   ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=F′(c)(b−a)=f(c)(b−a)

2. 原函数存在定理

   对于函数 f(x) ，如下的函数 F(x) 是其原函数：

   F(x)=∫xaf(t)dt

   给定自变量增量 Δx ，则函数 F(x) 获得增量：

   ΔF=F(x+Δx)−F(x)=∫x+Δxaf(t)dt−∫xaf(t)dt=∫x+Δxxf(t)dt

   根据积分的定义式，记 f(x) 在区间 [x,x+Δx] 上的最大最小值分别为 M(f),m(f) ，有：

   m(f)Δx⩽∫x+Δxxf(t)dt⩽M(f)Δx

   当 Δx→0 时，有 limm(f)=limM(f)=f(x) ，于是由夹逼定理：

   limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)

   套用导数的定义：

   F′(x)=limΔx→0ΔFΔx=limΔx→01Δx∫x+Δxxf(t)dt=f(x)

   意既 F(x) 是 f(x) 的原函数。

   附注：
   这一定理是微积分基本定理的另一种证法（抑或另一种形式）。许多求导与积分的结合，或这极限与积分的结合，往往可使用这一定理。

​ 下面举一些简单但有趣的积分计算的例子：

1. sinx 下的面积

计算函数 sinx 与 x 轴在区间 [0,π] 上围成的面积 S 。

根据定积分的几何意义，以及由 (cosx)′=−sinx ，有：

S=∫π0sinxdx=(−cosx)|π0=cos0−cosπ=2

1. 两个函数所夹的面积

   如图（文件 §2-3-2.ggb ）计算由 f:y=x2,g:y=√x+1,x=−1,x=2 围成的阴影面积 S 。

   首先算出 f,g 两函数的原函数（不妨令积分常数 C=0 ）：

   F(x)=∫f(x)dx=13x3,G(x)=∫g(x)dx=23(x+1)32

   我们将如图的阴影分为三块：以 A,B,C 为顶点的曲边三角状面积 S1 ，以 C,D 为顶点的叶子状面积 S2 ，以 D,E,F 为顶点的曲边三角状面积 S3 。整个积分区间 [−1,2] 相应分为三段 [−1,xC],[xC,xD],[xD,2] （先不解出 C,D 的坐标），分别算出：

   S1=∫xC−1(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))|xC−1=F(xC)−G(xC)−F(−1)+G(−1)S2=∫xDxC(g(x)−f(x))dx=(G(x)−F(x))|xDxC=G(xD)−F(xD)−G(xC)+F(xC)S3=∫2xD(f(x)−g(x))dx=(F(x)−G(x))|2xD=F(2)−G(2)−F(xD)+G(xD)

   将上三项相加，带入 xC≈−0.724,xD≈1.221 ，得到 S=S1+S2+S3≈2.29 。

2. 运用积分夹逼

   求证：18⩽100∑x=11√x⩽19

   由于下面两幅图（文件 §2-3-3.ggb ），其中橙色和蓝色部分是原和−1 ，青色和黄色的部分是函数 f(x)=1√x 在区间 [2,100] 和 [1,99] 上分别做的积分，

   根据图像有 S青<S蓝=S橙<S黄 ，因而我们可以得到：

   2√100−2√2=∫10021√xdx<100∑x=21√x<∫9911√xdx=√99−√1

   18<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<19

   附注：
   此题当然有初等解法。注意到：

   √x+1+√x>2√x>√x+√x−11√x+1+√x<12√x<1√x+√x−12√x+1−2√x<1√x<2√x−2√x−1

   因而原和满足（此处将 x=1 单列是为了夹逼的紧度）：

   1+100∑x=2(2√x+1−2√x)<100∑x=11√x<1+100∑x=2(2√x−2√x−1)18<2√100−2√2+1<100∑x=11√x<2√99−2√1+1<19

   然而认识到这一不等式，上两图的积分图像也是不可或缺的。

§3.特殊积分法

—1.分部、换元积分法

​ 根据已经熟知的求导法则：

有对应的积分恒等式：

第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作

此时它起到将 u 换为 x 的作用，被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下：

​ 此两法的详细内容会在下一章讨论，此处先以两个例子感受一二：

1. ∫secxdx

   令 t=sinx ，则 dx=1cosxdt ，代入原式：

   ∫secxdx=∫1cosxdx=∫1cos2xdt=∫11−t2dt

   对于这个分式，采取裂项的手段处理（这也会在下一章详细讨论）：

   ∫11−t2dt=12∫11−tdt+12∫11+tdt=12ln(1−t)+12ln(1+t)+C

   由于 t=sinx∈[−1,1] ，故 ln 内不必带绝对值。回代 t=sinx ，并化简：

   12ln(1−t)+12ln(1+t)+C=ln√1−sinx1+sinx+C=ln|tanx+secx|+C

   得到答案：

   ∫secxdx=ln|tanx+secx|+C

   附注：
   另有一极巧妙的做法：

   ∫secxdx=∫sec2x+tanxsecxsecx+tanxdx=∫ln′(secx+tanx)⋅(secx+tanx)′dx=ln|tanx+secx|+C

   套用 f(g(x))+C=∫f′(g(x))g′(x)dx 。

2. ∫exsinxdx

   令 u=ex,v=sinx ，套用两次分部积分法：

   ∫exsinxdx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx−∫ex(−sinx)dx)=ex(sinx+cosx)−∫exsinxdx

   于是得出：

   ∫exsinxdx=ex2(sinx+cosx)

   附注：此类形如 exf(x) 的积分常用分部积分法，通常最终会在等号右侧重现原积分。

—2.反常积分

​ 反常积分，是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分，这些点被称为“瑕点”。例如

就有 −∞,−1,+1,+∞ 四个瑕点。

​ 总可以通过拆分，将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点，并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义，容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义（以下的 c 皆是函数无定义的点）：

​ 我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断：

由于被积函数 xx2−1 是奇函数，所以

∫+∞−∞xx2−1dx=limt→+∞(∫0−txx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=limt→+∞(∫t0−xx2−1dx+∫t0xx2−1dx)=0

如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分：

然后老老实实按定义：

首先取出第一个积分：

依次计算剩余积分，得出的结果分别是 −∞,+∞,−∞,∞,∞ ，这些无穷互不关联，于是原积分的结果是一个不存在的值。

—3.体积、弧长、表面积积分

​ 所谓“面动成体”，积分给予了我们强大的计算面积的工具，那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 [a,b] 上的函数 f(x) ，我们将它与 x 轴、直线 x=a,x=b 围成的面积绕 x 轴旋转一周，求得到的立体的体积。

​ 回到积分定义的本源，我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条，累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 x 轴旋转一周，则可以得到一组圆盘，每个圆盘的半径为矩形的高，也就是这一区间内某点的函数值，高为矩形的宽。因此，旋转体就可以横截成多个圆盘，累加来近似。

​ 将思路落实成式子。首先分割区间 [a,b] 为点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ，然后将每两点之间的距离 Δxi=xi−xi−1 (1⩽i⩽n) 作为圆盘的厚度，同时在每个区间 [xi−1,xi] 内取一点 ξi ，并以这一点的函数值 f(ξi) 作为圆盘的半径，算出所有圆盘体积之和：

仿照积分定义的那个极限：

​ 让我们以一个实例练手

求半径为 r 的球的体积。

球由半圆旋转而成。半径为 r 的半圆对应函数

y=√r2−x2(−r⩽x⩽r)

套用旋转体体积公式：

V=∫r−r(√r2−x2)2dx=∫r−r(r2−x2)dx=(r2x−13x3)|r−r=4π3r3

就是我们熟悉的球的体积公式。如下图（文件 §3-3.ggb ，蓝色为球，绿色为推导过程中的圆盘）：

​ 除了绕 x 轴旋转，还可以绕 y 轴旋转。此时的函数 f(x) 与 x 轴、直线 x=a,x=b 围成的面积旋转所得的立体，就可以如洋葱一般分割成数层柱壳，其中第 i 层的体积为 νi=f(xi)π(x2i+1−x2i) 。若直接将其累加套入极限，是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 2πxi 为长、柱壳厚度 Δxi 为宽、柱壳高度 f(ξi) 为高的长方体，其体积为 vi=2πxi⋅Δxi⋅f(ξi) 。将其累加：

仿照积分定义的那个极限：

​ 旋转体当然还可以由绕非 x,y 轴的轴旋转得到，统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。

​ 积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 y=f(x) 再闭区间 [a,b] 内的函数图像曲线的长度，首先分割区间 [a,b] 为点 a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b ，然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离：

将这些距离累加并求极限：

注意到当 λ→0 时， Δxi→0 ，则根据导数的定义有 ΔyiΔxi∼f′(x) ，于是：

​ 我们尝试根据这个式子求圆的周长：

半径为 r 的半圆对应函数 f(x)=√r2−x2 ，则

f′(x)=−x√r2−x2

套用弧长的公式：

L=∫r−r√1+(−x√r2−x2)2dx=∫r−rdx√r2−x2

换元 x=rsint ，则 dx=rcostdt ，积分下限 [−π2,π2] （注意定积分换元时要一并替换积分区间），原积分变为 （此区间内 cost⩾0 ，无需讨论符号）：

L=∫π2−π2rcostdt√r2−(rsint)2=∫π2−π2rdt=rt|π2−π2=πr

因此圆的周长 C=2L=2πr 。

​ 将曲线绕着轴旋转，就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积，自行推导如下两个绕 x,y 轴旋转得到旋转曲面的表面积：

§4.积分的实例

—1.万有引力势能

​ 我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中，质量为 M,m 、相距 x 的两物体之间的万有引力的方向指向对方，其大小可看作关于 x 的函数：

假定在原点有一质量为 M 的质点，定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 m 的质点从无穷远点移动到 r0 点过程中万有引力 F 做的功。我们取足够远的一点 r1 ，将移动过程 [r0,r1] 分为 n 段，假定每一段上 F 不变，累加所作的功（此时引力方向与移动方向相同，功为正）：

使区间长 λ→0 ，右端点 r1→∞ ，得到引力做的功的定义：

这是一个反常积分。做出不定积分：

代回原反常积分得到答案：

由于无穷远点为势能零点，因此 r0 点的万有引力势能：

—2.质能方程

​ 我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中，两个相对速度为 u 的惯性系满足洛伦兹变换：

若对于一个惯性系有一个速度为 v 的物体，那么另一个惯性系中此物体的速度

​ 假设有两个相对速度为 u 的惯性系 S,S′ ，质量均为 m0 的两个质点分别相对于 S,S′ 静止。两质点相撞后合并为一个质点 M ，其相对于 S,S′ 的速度分别为 v,v′ 。假定参考系中物体的质量 m 是速度的大小 |v| 的函数。那么由于质量和动量守恒，对于两个惯性系分别有：

于是得到 v′=−v ，又根据惯性系间的速度变换 （显然，u>v）：

​ 于是可定义定义质量为 m 速度为 v 的质点的动量 p 为：

从而质点如此运动时所受的力 F 为：

同【§4—1】中的功的定义，此力 F 在区间 [0,s] 上做功：

根据动量的定义计算其导数：

带回原积分：

记洛伦兹因子 γ=(1−v2/c2)−1/2 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量，假设初始动能为 0 ，那么点 s 的动能就为 Ek=γmc2−mc2 。我们视第一部分 γmc2 为总能量，第二部分 E=mc2 为静能，就得到了质能方程。

—3.蒲丰投针问题

平面内有无穷条相距 a 的平行线，将长度为 b 的针丢在平面内，求针与平行线相交的概率。

首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 (x,θ) 描述针在平面内的位置，其中 x 表示针的中点到距离最近的平行线的距离， x∈[0,a2] ；θ 表示针与平行线的夹角， θ∈[0,π2] 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式：

我们将满足解的数对 (x,θ) 表在平面内，就会形成如下蓝色区域：

​ 我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前，要注意到当 b>a,sinθ>ab 时，蓝色区域会被限制成矩形，此时要分开求积分。于是：

1. 当 b⩽a 时，

   S=∫π20b2sinθdθ=−b2cosθ|π20=b2P=SS0=b2a2⋅π2=2bπa

2. 当 b>a 时，

   S=∫arcsinab0b2sinθdθ+∫π2arcsinaba2dθ=−b2cosθ|arcsinab0+a2(π2−arcsinab)=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinabP=SS0=πa4+b2−12√b2−a2−a2arcsinaba2⋅π2=1+2bπa−2πa√b2−a2−2πarcsinab

综合起来：

读者可自证：给定 a ，总有 0<P<1 ， P 随 b 的增大严格减小，当 b→∞ 时 P→1 。

​ 这个实验在历史上曾用来估计 π 的大小，不少人做过此实验（下随意取几例）：

而其中多数要么很不精确，要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承，现在在计算机领域仍广为应用。

—4.不规则物体的引力

求平面内线密度 ρ 的曲线 (x(t),y(t)),t∈[a,b] 对质量为 m 的质点 (p,q) 的引力的大小。

老规矩，分割区间 [a,b] ，近似计算出每一段的质量：

取每一段上的一点 (ξi,ψi) ，算出其到质点的距离：

计算出此段对质点的引力大小：

将力分解到坐标轴方向上：

求和求出合力，并套入极限：

于是这个引力的大小就是 F=√F2x+F2y 。

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本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说，积分是微分的逆操作（这将在第五章微分方程充分体现）。广义来说，对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分（积分甚至不一定连续，例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”），再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节，我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法，那将是一个纯粹技术性的章节。

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1. 另一种理解是将 ∫dy​ 视作函数 f(y)=1​ 的积分，那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎

2. 这里拉格朗日中值定理的使用条件，应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐，并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎

3. 势能的定义实则是很复杂的，涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎

4. 以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²。 ↩︎