概率问题二则
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概率问题二则
Fri Jul 20, 2018
问题一： 设 Xi (i=1,2,…,N) 为相互独立的离散随机变量， 取值为整数， 且服从 [0,M) 上的均匀分布。 求 Pr(X1<X2<⋯<XN)。
解
设 Pn(x)=Pr(X1<X2<⋯<Xn<x)(0≤x<M)。 对 Xn 分类讨论，根据全概率公式，
Pn(x)=∑k=0M−1Pr(Xn=k)Pr(X1<X2<⋯<Xn−1<k<x). 其中， Pr(Xn=k)=1M， 且 Pr(X1<X2<⋯<Xn−1<k<x)={Pn−1(k)0≤k<x,0x≤k<M. 故 Pn(x)=1M∑k=0x−1Pn−1(k).
此为递归式。 结合初始条件 P1(x)=Pr(X1<x)=xM， 根据朱世杰恒等式， 递推可得 PN(x)=(xN)MN. 问题中所要求的概率为 PN(M)=(MN)MN。
此题有组合学的解法： M 个数中取 N 个不重复 （因所求概率中为严格不等号） 的数字， 共 (MN) 种取法， 每种取法对应一个升序序列， 此为分子。 另一方面， M 个数中取 N 个 （放回取样） 数共有 MN 种取法， 此为分母。 即得答案。
问题二： 同问题一， 但 Xi 为连续随机变量， 取值为实数。
解 直观上此题答案应与 M 无关， 下面设法求解。 设 Pn(x)=Pr(X1<X2<⋯<Xn<x)(0≤x<M)。 对 Xn 分类讨论，根据全概率公式， Pn(x)=∫0MfXn(t)Pr(X1<X2<⋯<Xn−1<t<x);dt. 其中， fXn(t)=1M 为 Xn 的概率密度函数， 且 Pr(X1<X2<⋯<Xn−1<t<x)={Pn−1(t)0≤t<x,0x≤t<M. 故 Pn(x)=1M∫0xPn−1(t);dt. 此为递归式。 结合初始条件 P1(x)=Pr(X1<x)=xM， 递推可得 PN(x)=xNN!,MN. 问题中所要求的概率为 PN(M)=1N!。
和这个答案相关有一些巧合供思考：
- 在第一题的答案中取 M→∞ 的极限可得 1N!；
- 将 N 个互不相同的数随机排列， 恰好构成升序序列的概率， 也是 1N!。
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