高等算术习题(6) -- 二次型

高等算术习题(6) – 二次型

Sat Mar 19, 2022

《高等算术》第六章主要研究二元二次型 ax²+bxy+cy² 的理论。这一章主要研究了等价二次型、正定二次型的约化等价形式，以及二次型的表示问题（这是二平方和问题的推广）。

6.1 证明 13x²+36xy+25y² 和 58x²+82xy+29y² 都和 x²+y² 等价。

证明 因为判别式等于 -4 的二次型都等价，所以只须验证它们的判别式相等即可。

事实上，13x²+36xy+25y² = (-2x-3y)²+(3x+4y)²，并且 58x²+82xy+29y² = (3x+2y)²+(7x+5y)²。

6.2 求证：ax²±bxy+cy² (-a<b<a<c) 不等价（b≠0）。

证明 满足这些条件的二次型都是约化 (reduced) 形式。因为约化形式不相同，所以不是等价的二次型。

6.3 验证：如果 ax2+bxy+cy2=AX2+BXY+CY2，其中 x=pX+qY 且 y=rX+sY，那么 B2−4AC=(b2−4ac)(ps−qr)2。

证明 可以直接计算证明。也可以用线性代数的语言证明：注意二次型 (a,b,c) 可以用矩阵表示为 (xy)(ab/2b/2c)(xy) 而线性变换可以表示为 (xy)=(pqrs)(XY) 于是有 (prqs)(ab/2b/2c)(pqrs)=(AB/2B/2C) 对两边求行列式并整理就得到要证的等式。

6.4 通过将二次型化为约化形式证明二次型 (13, 36, 25) 和 (58, 82, 29) 都等价于约化形式 (1, 0, 1)。

说明 将二次型化为约化形式的规则为

1. (a, b, c) ~ (c, -b, a)。可以用它使得 a < c 或者 a = c 且 b ≥ 0。
2. (a, b, c) ~ (a, b₁, c₁)。可以取适当的 b₁ ≡ b (mod 2a) 使得 |b₁| ≤ a；c₁ 的值由判别式确定。

证明

1. 使用规则 2，设 (13, 36, 25) ~ (13, 10, c₁)。其中 c₁ 由判别式 10²-52c₁ = -4 确定：解得 c₁ = 2。因此 (13, 36, 25) ~ (13, 10, 2)。
2. 使用规则 1，得 (13, 10, 2) ~ (2, -10, 13)。
3. 使用规则 2，得 (2, -10, 13) ~ (2, 2, 1)。
4. 使用规则 1，得 (2, 2, 1) ~ (1, -2, 2)。
5. 使用规则 2，得 (1, -2, 2) ~ (1, 0, 1)。

第二个例子类似，(58, 82, 29) ~ (29, -82, 58) ~ (29, -24, 5) ~ (5, 24, 29) ~ (5, 4, 1) ~ (1, -4, 5) ~ (1, 0, 1)。

6.5 二次型 199x²-162xy+33y² 和 35x²-96xy+66y² 的判别式分别是多少？它们是等价二次型吗？

答 计算得判别式均为 -24。根据正定二次型的化简规则得

• (199, -162, 33) ~ (33, 162, 199) ~ (33, 30, 7) ~ (7, -30, 33) ~ (7, -2, 1) ~ (1, 2, 7) ~ (1, 0, 6)
• (35, -96, 66) ~ (35, -26, 5) ~ (5, 26, 35) ~ (5, -4, 2) ~ (2, 4, 5) ~ (2, 0, 3)

可见这两个二次型的约化形式不相同，因此不是等价的二次型。

6.6 证明质数 p 可以表示为 x²+2y² 的形式当且仅当 p=2 或者 p ≡ 1 或 3 (mod 8)。

证明 当 p=2 时有 2 = 0²+2×1²。因此只须考虑 p 时奇质数的情况。

这里考虑的二次型 (1, 0, 2) 的判别式等于 -8。查找类数表可知，判别式等于 -8 的二次型都等价。因此问题转换为寻找判别式等于 -8 的二次型 (p, h, l)，这要求 h^2 - 4pl = -8 也即同余方程 h² ≡ -8 (mod 4p)。

h 一定是偶数，设 h = 2h'，那么同余方程可以写成 h'² ≡ -2 (mod p)。-2 是 p 的二次剩余的充要条件是 p ≡ 1 或 3 (mod 8)；这可以由高斯引理得到（见习题 3.22）。