SEIR 模型简介

2019 年年末，中国武汉出现了由某种新型冠状病毒感染的肺炎疫情，其严重程度与 2003 年 SARS 疫情比起有过之而无不及。在国家全力做好疫情防控工作的同时，世界各地研究者纷纷对此次疫情进行评估和预测，短时间内诞生了不少此次疫情的相关文献。

SEIR 模型是诸多传染病模型中非常经典的一个微分方程模型，此时也被许多研究者采用。

参考文献：JL Aron, IB Schwartz. Seasonality and Period-doubling Bifurcation in an Epidemic Model - Journal of theoretical biology, 1984

一个地区的人可以被划分为以下四类人群：Susceptibles（易感者），Exposed（潜伏者），Infectives（传染者），Recovered（康复者）

易感者即可能患该流行病的人；潜伏者是已经携带流行病的病原体但仍未达到传染水平的人；传染者是携带病原体并且可以传播给其他人的人；康复者是经过治疗从该传染病中康复的人；

1. 设 S,E,I,R 是四类对应人群人数占比，则有 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1

2. 假设该地区人数不变，即出生速率和死亡速率都是 μ

3. 潜伏者在一段时间后转变为传染者的概率不随时间变化

4. 一名潜伏者经过时间 τ 仍为潜伏者的概率是 e−ατ，1/α 是平均潜伏期

5. 传染者经过时间 τ 后才康复的概率是 e−γτ，1/γ 是康复需要的平均时间

6. 康复者永久免疫该传染病

该地区的出生速率和死亡速率 μ：单位时间内出生的人数和死亡人数

接触速率 β(t)：一名传染者在单位时间内接触到易感人群的平均人数

平均潜伏期 1/α：一名潜伏者平均需要经过 1/α 转变为传染者

平均康复时间 1/γ：一名传染者平均需要经过 1/γ 康复

设该地区总人数是 N

易感人群的改变量由出生人数，转化为潜伏人群的人数，死亡人数三部分组成： NS(t+Δt)−NS(t)=NμΔt−Nβ(t)S(t)I(t)Δt−NμS(t)Δt 在可微的条件下可以改写成常微分方程： S′(t)=μ−β(t)S(t)I(t)−μS(t) 潜伏人群的改变量由易感人群转化，转化为传染人群，死亡人数三部分组成： NE(t+Δt)−NE(t)=Nβ(t)S(t)I(t)Δt−NE(t)Δt1/α 改写为 ODE： E′(t)=β(t)S(t)I(t)−(μ+α)E(t) 传染人群的改变量由潜伏人群转化，死亡人数，康复人数三部分组成： NI(t+Δt)−NI(t)=NE(t)Δt1/α−NμI(t)−NI(t)Δt1/γ 改写为 ODE： I′(t)=αE(t)−(μ+γ)I(t)

最后康复人群的改变量由传染者康复，死亡人数组成： NR(t+Δt)−NR(t)=NΔt1/γI(t)−μR(t) 改写为 ODE： R′(t)=γI(t)−μR(t) 这样就得到了描述该地区各类人群数量变化的微分方程组，这就是 SEIR 模型： {S′(t)=μ−β(t)S(t)I(t)−μS(t)E′(t)=β(t)S(t)I(t)−(μ+α)E(t)I′(t)=αE(t)−(μ+γ)I(t)R′(t)=γI(t)−μR(t) 检查一下的确满足 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1

假设 4 和 5 的解释

假设平均潜伏期是 1/α，潜伏者转化为传染者的数量是随机变量 X，根据泊松过程，则有 P(X=k,t)=(αt)kk!e−αt 设连续两名潜伏者转化为传染者的时间差是随机变量 Y，容易知道 P(Y>t)=P(X=0,t)=e−αt 而这个概率 P(Y>t) 又可以解释为一名潜伏者经过时间 t 仍为潜伏者的概率。