参考（续）

https://mp.weixin.qq.com/s/vdxfzuGEMoiwGARYYzXbKg

最伟大的数学公式：欧拉公式

https://mp.weixin.qq.com/s/cy5U6in3QQSy7yAXkDjvqA

欧拉：1分钟解决eπ和πe谁大的问题！

https://mp.weixin.qq.com/s/G7eZMTQbQZBjJf4HfDk21A

虚数到底有什么意义？从i说起

傅立叶变换

正弦波的叠加（傅立叶级数）：

时域、频域、相位：

周期为T的函数可展开为：

(1)f(t)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(2πnTt)+bnsin⁡(2πnTt))

公式1被称为函数的傅立叶展开式（Fourier expansion）。这里是傅立叶展开式的三角形式，后面还有复指数形式。

令ω=2πT，则公式1可改写为：

(2)f(t)=a0+∑n=1∞(ancos⁡(nωt)+bnsin⁡(nωt))

这里的ω被称作角速度（Angular Velocity）。而这里的an,bn则被称为傅立叶级数（Fourier series）。

对公式2两边进行积分：

∫−ππf(t)dt=∫−ππA0dt+∫−ππ∑n=1∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]dt=∫−ππA0dt+0=2πA0A0=12π∫−ππf(t)dtan=2T∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dtbn=2T∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt

将欧拉公式的两个变种：

cos(θ)=eiθ+e−iθ2,sin(θ)=eiθ−e−iθ2i=−i⋅eiθ−e−iθ2

代入公式2：

f(t)=a02+∑n=1∞[aneinωt+e−inωt2−ibneinωt−e−inωt2]=a02+∑n=1∞[an−ibn2einωt+an+ibn2e−inωt]

将an,bn代入：

f(t)=1T∑n=−∞+∞∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt⋅einωt

上式为Fourier expansion的复指数形式。

Fn=1T∫t0t0+Tf(t)e−inωtdt(3)f(t)=∑n=−∞+∞Fneinωt

这里的Fn被称为复振幅。

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傅立叶的时代，电学尚不成熟，因此傅立叶级数的落脚点实际上是求解热传导方程，这也就是求解偏微分方程的分离变量法。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/131385010

偏微分方程-热传导方程及连续性方程的导出

https://zhuanlan.zhihu.com/p/138032373

偏微分方程基础——分离变量法

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傅立叶级数与傅立叶变换：

傅立叶级数针对的是周期函数。对于非周期函数，也就是T→∞的函数，需要有一些特殊的处理。

从公式3可以看出如果T→∞，则Fn→0，但FnT=2πFnω可望趋于有限值。我们定义：

F(iω)=limT→∞2πFnωf(t)=∑n=−∞+∞Fneinωt=∑n=−∞+∞Fnωeinωt⋅ωif T→∞,then Fnω→F(iω)2π,ω→dω,nω→ω(4)F(iω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt(5)f(t)=limT→∞∑n=−∞+∞Fnωeinωt⋅ω=12π∫−∞+∞F(iω)eiωtdω

公式4为傅立叶变换，公式5为傅立叶逆变换（inverse Fourier transform）。

欧拉公式：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。

https://www.zhihu.com/question/21665935

傅立叶级数和傅立叶变换是什么关系？

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

傅立叶分析之掐死教程

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

傅立叶级数的推导

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010

傅立叶变换的推导

https://zhuanlan.zhihu.com/p/75521342

离散傅立叶变换（DFT）

https://mp.weixin.qq.com/s/4wv8fYe8pahnt-301t-3Hw

傅立叶变换

https://mp.weixin.qq.com/s/MLe_MtQE27rZTncaQeU4cg

论频谱中负频率成分的物理意义

https://mp.weixin.qq.com/s/TEtZbh0NHSemgWQlrgo2Vw

傅立叶变换还能这么玩

https://bl.ocks.org/jinroh/7524988

Fourier series visualisation with d3.js

https://mp.weixin.qq.com/s/OEo0aboqxQ42ZfMFACXQPw

信号与系统公式大全（傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、卷积…）

https://mp.weixin.qq.com/s/57WKK0xEBti9BjUD1xVlRQ

手把手教你编写傅立叶动画

https://mp.weixin.qq.com/s/gYpT_cLcxy6xJ5nww-Obqw

一文读懂傅立叶变换处理图像的原理

https://mp.weixin.qq.com/s/vzXejSzH9rzvhfYJEYSyrQ

傅立叶变换有什么用

https://www.zhihu.com/question/279808864

为什么傅立叶变换可以把时域信号变为频域信号？

FT针对的是连续信号，但数字信号处理只能处理离散数据，于是就有了Discrete-time Fourier transform（DTFT）：

X2π(ω)=∑n=−∞∞x[n]e−iωn

由于采样频率是有限的，由Nyquist采样定理可知，DTFT是个周期函数，因此我们取它的一个周期即可，这就是所谓的DFT：

Xk=∑n=0N−1xn⋅e−2πiNkn=∑n=0N−1xn⋅[cos⁡(2πkn/N)−i⋅sin⁡(2πkn/N)],

这里的xn和Xk都是长度为N的复数序列。

对于实数序列而言，我们有如下性质：

x∗(n)=x(n),X∗(n)=X(N−n)

因此，用N/2长度的序列Xk就足以表示Real DFT的结果。

必须注意的是：Real DFT的结果仍然是复数。

https://www.zhihu.com/question/23137926

DFT与DTFT区别是什么？

http://www.dspguide.com/ch12/1.htm

Real DFT Using the Complex DFT

http://blog.miskcoo.com/2018/01/real-dft

实序列离散傅立叶变换的快速算法

拉普拉斯变换

(1)F(s)=∫0+∞e−stf(t)dt,s=σ+iω

傅立叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。

为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，可以采用拉普拉斯变换和Z变换。它们对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式。

拉普拉斯变换（Laplace transform）将频率从实数推广为复数，因而傅立叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅立叶变换。

从图像的角度来说，拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数。

而傅立叶变换得到的频谱，则是从虚轴上切一刀，得到的函数的剖面。

由复数的指数表示z=reiθ可知，复频域可以看作是普通频域（r）+相位谱（θ）。

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此外，傅立叶变换和拉普拉斯变换之所以在计算上比较方便，还在于指数函数正好是线性微分方程的特征函数。

由于一阶微分方程dydt=λy的解是eλt。由线性代数中的特征向量可类比得到，eλt是线性微分方程的特征函数，从而可以将线性微分方程转换为线性方程。

公式1的另一个值得注意的地方是：它的积分范围是[0,+∞)。这样的变换一般被称为Unilateral Laplace transform或者One-sided Laplace transform，也就是通常意义下的Laplace transform。

如果它的积分范围是(−∞,+∞)的话，那就是Two-sided Laplace transform了。

容易看出，复数域的Fourier transform和Two-sided Laplace transform是等价的，而Unilateral Laplace transform是前两者的特例，实数域的Fourier transform又是Unilateral Laplace transform的特例。

Laplace transform的积分范围不是随便定的，它隐含了Causality条件：当系统的输出仅与当前的输入或者过去的输入有关，那么这个系统就是causal的。

想看清楚这一点也不难：用-t替换t，然后积分范围就变成了(−∞,0]。

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我们还可以换一个角度看待Laplace transform和Fourier transform。

绝对可积条件限制了Fourier transform的应用范围，而不满足绝对可积条件的函数，通常在∞处的值是∞。一个自然的思路是给这样的函数f(x)，除以一个缩放的系数。显然只有比f(x)更高阶的函数，才能在∞处将函数值约束在一个有限的范围内。

ex就是个很合适的选择，它的增长速度超过了多数的常见函数。

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https://www.zhihu.com/question/22085329

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系？为什么要进行这些变换。研究的都是什么？

https://www.zhihu.com/question/23280174

矩阵，数列，微分方程的特征值是什么关系？

https://mp.weixin.qq.com/s/ObYF_kMBvBdz4djdT7G77w

傅立叶变换和拉普拉斯变换的物理解释及区别

https://www.zhihu.com/question/33177784

解微分方程为什么会出现个e？

https://mp.weixin.qq.com/s/v07bgw90WDonyZQuuoWozA

8张动图，让您秒懂什么是电压电流的超前与滞后！

https://mp.weixin.qq.com/s/cR3k5-looApwD01ZzgixSw

关于Fourier和Laplace

https://zhuanlan.zhihu.com/p/311886981

微分方程VS机器学习，实例讲解二者异同