高考数学填空题

高考数学填空题

Mon Jun 8, 2015

又是一年高考日。今年江苏省的高考数学卷中，有一道填空题是这样的：

设向量ak→=(cos⁡kπ6,cos⁡kπ6+sin⁡kπ6)，则∑k=011ak→⋅ak+1→=?

这样的题似乎只需要你足够地胆大心细总是可以计算出来。

部分和kak→ak→⋅ak+1→部分和0(1,1)12+312+31(32,1+32)1+33432+7342(12,1+32)1+322+9343(0,1)−1+3232+11344(−12,−1+32)−1+33412+14345(−32,1−32)−12+318346(−1,−1)12+312+22347(−32,−1−32)1+33432+25348(−12,−1−32)1+322+27349(0,−1)−1+3232+293410(12,1−32)−1+33412+323411(32,−1+32)−12+33634

如果时间充裕，像上边这样列个表，一步一步计算，只要不算错，也用不了多少时间。这些算术运算，叫初中生也可以做，无非是加减乘除加上平方根罢了。

既然是一道高考题，我最好还是用高中的代数知识来解决它。

首先根据三角恒等变换的知识 cos⁡xcos⁡y=12[cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)](sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡y+cos⁡y)=(sin⁡xsin⁡y+cos⁡xcos⁡y)+(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)=cos⁡(x−y)+sin⁡(x+y) 不难得到 ak→⋅ak+1→=cos⁡kπ6cos⁡(k+1)π6+(sin⁡kπ6+cos⁡kπ6)[sin⁡(k+1)π6+cos⁡(k+1)π6]=12cos⁡(2k+1)π6+12cos⁡−π6+cos⁡−π6+sin⁡(2k+1)π6=12cos⁡(2k+1)π6+sin⁡(2k+1)π6+334

算到这里，聪明的人已经一眼能够看出来，正弦和余弦函数因为其参数的取值依次是π6,3π6,5π6,…,23π6，在单位圆上恰好是对称出现的，所以求和以后一定相消。

如果看不出来，就要考虑：高中数学中，求数列的前n项和有多种方法，例如倒序相加法和错位相减法。倒序相加法的本质是重排求和项的顺序，让第一项和最后一项配对，第二项和倒数第二项配对……以便利用求和项的对称性。事实上，如果运用倒序相加法，则可以消去式中的正弦函数，但并不能消去余弦函数。三角函数除了具有对称性以外，还具有周期性，特别是sin⁡(x+π)=−sin⁡x, cos⁡(x+π)=−cos⁡x这样的规律非常值得利用。所以可以考虑另外一种配对的方式。

如果设bk=ak→⋅ak+1→，运用上述性质，不难证明bk+bk+3=332 那么所求的和 ∑k=011bk=∑k=02bk+∑k=35bk+∑k=68bk+∑k=911bk=∑k=02(bk+bk+3)+∑k=68(bk+bk+3)=3×332+3×332=93

不知道考生做这题是什么感觉。这个题目我暂时想不到更容易的办法。就我知道的两个做法而言，其实没什么意思，只不过是一些纯粹的计算而已。在计算机如此普及的时代，这样的计算工作不应该再让人手工完成。使用计算机代数系统(CAS)可以在眨眼之间求出结果，并不需要任何技巧。

Wolfram|Alpha的计算结果