复习：拉普拉斯变换和z变换

Wed Dec 9, 2015

致EE120。

拉普拉斯变换和z变换分别是连续时间和离散时间的傅里叶变换的推广。一方面，运用这些变换可以处理种类更加多的函数；另一方面，它们是分析线性时不变系统和求解微分/差分方程的有力工具。

拉普拉斯变换

回顾连续时间傅里叶变换的定义： F{x(t)}=∫−∞∞x(t)e−jωt;dt.

其中s=jω称为复频率。在傅里叶变换中，它只有虚部而没有实部。如果让复频率包含实部，即s=σ+jω，则构成拉普拉斯变换： X(s)=L{x(t)}=∫−∞∞x(t)e−st;dt.

拉普拉斯变换也可以看做函数x(t)e−σt的傅里叶变换，因此它是否收敛也可以借助Dirichlet条件来判别。其中的绝对可积条件 ∫−∞∞|x(t)e−σt|;dt<∞ 不仅和要变换的函数有关，还和ℜ(s)=σ的取值有关。对于工程上很多常用的函数，拉普拉斯变换总是可以收敛的，只要你提供适当的σ的值；σ是你和Dirichlet条件进行谈判的筹码。对于某个特定的函数x(t)，所有使得拉普拉斯变换收敛的s的取值构成收敛域(Region of Convergence)。

举例而言，单位阶跃函数u(t)不存在严格意义上的傅里叶变换，但是 L{u(t)}=∫−∞∞u(t)e−st;dt=∫0∞e−st;dt=−1se−st|0∞=1s.(ℜ(s)>0)

不过需要注意的是，类似的计算表明， L{−u(−t)}=1s.(ℜ(s)<0) 可见收敛域在拉普拉斯变换中非常重要：两个不同的函数的拉普拉斯变换可能具有相同的表达式，但它们的收敛域不同。

和傅里叶变换一样，拉普拉斯变换也具有许多有用的性质。比较常用的是 L{ddtx(t)}=sX(s) 也即时域中的求导符号可以换成频域中的s符号。这个性质可以把微分方程转化为代数方程。

在数学工具书上可以找到事先计算好的拉普拉斯变换表。结合拉普拉斯变换的性质，可以推出大部分常用函数的拉普拉斯变换。其中，变换对 L{eatu(t)}=1s−a.(ℜ(s)>ℜ(a)) 在求解微分方程式非常有用。

单边拉普拉斯变换和微分方程

单边拉普拉斯变换定义为 X(s)=∫0∞x(t)e−st;dt. 即不考虑t<0的行为。

有些教科书将单边拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换，而将上节所述的拉普拉斯变换称为双边拉普拉斯变换。

和双边拉普拉斯变换不同，时域内微分的性质变为 L{ddtx(t)}=sX(s)−x(0) 多了和初始条件有关的项。所以单边拉普拉斯变换可以用于求解含初始条件的微分方程。而双边拉普拉斯变换则相当于默认初始条件均为0。

考虑微分方程 y′′+3y′+2y=0. 初始条件为y′(0)=1,y(0)=0.

对两边同时取单边拉普拉斯变换，得到代数方程 [s2Y(s)−sy(0)−y′(0)]+3[sY(s)−y(0)]+2Y(s)=0, 由此解出 Y(s)=1(s+1)(s+2)=1s+1−1s+2. 根据拉普拉斯变换的线性性质和上面给出的变换对，可知 y(t)=(e−t−e−2t)u(t).

z变换是拉普拉斯变换的离散版本： X(z)=Z{x[n]}=∑nx[n]z−n. 其中z=rejω。和拉普拉斯变换类似，z变换的收敛性和|z|=r的取值有关。所有使得z变换收敛的z的取值构成z变换的收敛域。

当r=1时，z变换就是离散时间傅里叶变换X(ejω)。

z变换的重要性质是它可以将时域中的延迟转换为频域中的z−1符号，即 Z{x[n−1]}=z−1X(z).

这个重要性质常常被用于求解差分方程。

查表法和差分方程

在数学工具书上可以找到z变换的性质和事先计算好的z变换表格。常用的如 Z{anu[n]}=11−az−1 在求解差分方程时较为有用。

举例而言，我们希望求出斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列是如下差分方程 x[n]−x[n−1]−x[n−2]=u[n−1] 的零初始状态的解。

两边取z变换后得到 X(z)−z−1X(z)−z−2X(z)=z−1. 解出 X(z)=z−11−z−1−z−2=z−1(1−αz−1)(1−βz−1)=1α−β(11−αz−1−11−βz−1). 其中α=1+52,,β=1−52。根据z变换的线性性质和上面给出的变换对，可知 x[n]=1α−β(αn−βn)u[n]=15[(1+52)n−(1−52)n]u[n].