卷积运算是一种提取图像特征的重要算法，它通过把给定的卷积核应用到图像上，从而缩减图像尺寸，达到提取特征的目的。卷积核在图像上每移动一次就对其覆盖的区域进行一次运算，具体的算法其实就是对应元素相乘然后求和，如果把参与运算的两个小矩阵 flatten 成一维的向量，那么这就是一次点积运算，正是因为这样的性质，使得卷积运算可以转换成矩阵乘法，从而利用现成的高性能矩阵乘法库实现对卷积的加速。下图展示了典型的卷积运算过程

如果我们把图像按卷积运算顺序分解成独立的小矩阵块

然后把每个小矩阵块 flatten 成行向量，再叠在一起，得到如下图所示的大矩阵

这就是所谓 im2col 过程，或者说 image to column。若假设图像尺寸为 h×wh×w，卷积核尺寸为 kh×kwkh×kw，那么卷积核在图像上的每次停留，都会在大矩阵上添加一个 kwkhkwkh 的向量，不难发现，卷积核总共停留了 (h−kh+1)(w−kw+1)(h−kh+1)(w−kw+1) 次，所以图像转换成矩阵的尺寸为 ((h−kh+1)(w−kw+1))×kwkh((h−kh+1)(w−kw+1))×kwkh。

若此时我们再将卷积核 flatten 成列向量，那么令上述大矩阵与列向量相乘，就能得到同卷积一样的结果，只不过这时还是一维向量，将得到的列向量 reshape 成输出特征图大小即可。

以上，考虑的是单个卷积核作用于单个图像上的情况，而在卷积神经网络的卷积层中，两者都是多对多的关系。这里我们假设图像通道为 c，卷积核数量为 n，则卷积层的具体算法为：对于每一个卷积核，计算它与 c 个图像的卷积，得到 c 个输出矩阵，然后对这 c 个输出矩阵求和，这样 n 个卷积核将得到 n 个通道的输出矩阵。

现在，利用同样的方法，将每个通道的图像展开成矩阵，然后在列方向上拼接，如下图所示

对于卷积核来说，也展开成一维向量，不过此时它的长度为 K×KK×K，因此还需要重复 c 次才能与上述矩阵相乘。由于此时有多个卷积核，所以需要将它们在列方向上拼接成矩阵

如此，我们就实现了多通道图像的 im2col 转换过程

最后将结果 reshape 成输出张量的形状即可。

接下来，我们再考虑有 padding 和 stride 的情况，padding 是对图像进行扩充，stride 是卷积核在图像上移动的步长，它们共同决定了输出特征图的空间维度。令 padding 分别等于 ph,pwph,pw, stride 分别等于 sh,swsh,sw，我们来计算单通道图像转换成矩阵的尺寸，首先，padding 之后的图像大小变成了 (h+ph)×(w+pw)(h+ph)×(w+pw)，而由于卷积核在竖直和水平方向上的移动步长为 sh,swsh,sw，那么卷积核在图像上停留的次数为 h+ph−kh+1sh×w+pw−k+1swh+ph−kh+1sh×w+pw−k+1sw，当然这是建立在 s 可以被整除的情况下，否则需要向下取整。