“等价无穷小量的替换”的详析

等价无穷小量的替换是我们求极限常用的一种方法，但很多人对于这个方法其实有很多的疑惑。

为什么用等价无穷小量的替换时老容易出错？

为什么老师会强调等价无穷小量一般我们只用于乘除，而不用于加减？

为什么有些题目在加减时替换能得到正确答案，有些则不能，它什么时候是可以用于加减的？

其实产生这些疑问，都是因为并没有真正理解等价无穷小量的替换是个什么东西。

目录

一、等价无穷小量的替换的基础知识

2.用等价无穷小量的注意事项

二、深层的去理解等价无穷小量的替换

1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系

2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换

3.为什么乘除时可以无顾忌的用等价无穷小量的替换？

4.什么时候可以在加减中用等价无穷小量的替换?

正文

一、等价无穷小量的替换的基础知识

1.定义[1]

等价无穷小量的替换：已知 存在， 都是 的无穷小量，且 ，若 存在（或为 ），则有 。
证明： 。

我们都蛮喜欢用等价无穷小量的替换的，因为在记下了常见的等价无穷小量之后，这种方法我们基本不用复杂的计算。

例如1：

如果用洛必达法则，我们就要算很长的时间。

2.用等价无穷小量的注意事项

但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点（常出错的两点）

①被替换的量，必须是无穷小量（在取极限时为0）。

例如2：

错误解法：∵ ，∴原式= 。

正确解法：∵当 时， ， ，
∴由无穷小量与有界量的积为无穷小量得， 。

②被替换的量，必须是作为被乘或被除的元素，不能是被加减的元素。

例如3：

错误做法：∵ ，∴

正确做法：∵ ，
∴ 。

③替换时必须整体替换，而不能替换局部

整体替换是什么意思呢？

其实等价无穷小量的替换，我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的分式。

例如4：
。

整体替换，就是要对整个求极限的式子乘1。

例如5：


错误做法：

错误的原因是，单独去等价无穷小量去替换了前一项 ，这样做意味着你把原极限拆分成了两个算式 和 ，而由极限的四则运算法则可知，这样做的前提必须要保证两个算式都是有极限。

正确做法：

。

这一点其实是很多人不容易注意到的。

也就是说我们求 时，如果 和 都有极限，那无所谓，因为可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，所以相当于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但如果只有一个有极限，或两个都没有，你用等价无穷小量的替换时，必须要整体替换。

二、深层的去理解等价无穷小量的替换

1.等价无穷小量和泰勒展开式的联系

泰勒展开式：

定理：若 在 点的某个邻域内有直到 阶连续导数，那么在此邻域内有 。

注：这里只写x=0处的泰勒展开，仅仅是因为懒。

我们用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近似程度越好。

都是近似，等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢？

的泰勒展开：

的泰勒展开：

......

无穷小量的等价，不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。

等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。

仅仅从做题的角度来说，就是你能用等价无穷小量去做的题，用泰勒展开一定可以，但反过来未必。

我们用泰勒展开的方法做一下上面的例3：

例如3：

的泰勒展开：
的泰勒展开：
∵ 分母只是 的3阶无穷小量，所以我们分子也只需取到3阶即可（3阶以后的无穷小量，除以 ,还是无穷小量），即 。

2.为什么加减时我们一般不用等价无穷小量的替换

我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后，这个问题的答案我们很容易得到。

为什么加减不行？

本质是因为加减可能会导致项的抵消，抵消后，根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，对后续的近似无能为力。

我们还拿上文中的例3去看：

例如3：

错误做法：∵ ，∴

的泰勒展开：
的泰勒展开：

上面的例子中，产生错误的原因是什么呢？

（注：下面我把泰勒展开式中的含 的项称为一阶代表元，含 的项称为二阶代表元...以此类推。仅仅为了利于表述和理解。）

就是当 的一阶代表元 （也就是它的等价无穷小量）与 的一阶代表元 （也是它的等价无穷小量）消掉之后，按理说该二阶代表元站出来了（因为分母是三阶的），对于这个例子而言，两者都没有二阶代表元，所以要各自三阶代表元（ 的 ， 的 ）站出来了，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，它才不管你的分母是x的几阶无穷小量，消完就没，所以就是0。但我们知道在取完第一项之后后面的项也还是有用（根据分母是x的几阶无穷小量）。

3.为什么乘除时可以无顾忌的用等价无穷小量的替换？

那为什么乘除可以呢？

因为乘除不会消去第一项近似，你等价的那个无穷小量（即泰勒展开的第一项）总会在，在就意味着轮不到你后面的高阶近似上场。

这个时候，我不需要你分子的等价无穷小量一直等价到和分母相同。

举个例子：我把例3的分子化为乘，分母化为 。

虽然分母是 ,但我管你，我只需看两个泰勒展开的第一项（等价无穷小量）乘积就可以得到是 了。

4.什么时候可以在加减中用等价无穷小量的替换?

知道为什么不能用，那什么时候能用就很简单了——我们不让相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项（等价的无穷小量）消去就可以了呗。

已知 存在， 都是 的无穷小量，且 。
若 （两者的泰勒展开的第一项不相同），则 ；
若 （两者的泰勒展开的第一项不互为相反数），则 。

等价无穷小量的替换这个定理就是为方便做题设计的——记下了一些常见函数的泰勒展开的第一项，在一些题目中可以方便快速的做出来，就是一个做题的小技巧。

学知识还是看泰勒展开。